📝 题目
### 第221题
已知四维列向量组 $\boldsymbol{\alpha}_{1}, \boldsymbol{\alpha}_{2}, \boldsymbol{\alpha}_{3}, \boldsymbol{\alpha}_{4}$ 线性无关，且向量 $\boldsymbol{\beta}_{1}=\boldsymbol{\alpha}_{1}+\boldsymbol{\alpha}_{3}+\boldsymbol{\alpha}_{4}, \boldsymbol{\beta}_{2}=\boldsymbol{\alpha}_{2}-\boldsymbol{\alpha}_{4}$ ， $\boldsymbol{\beta}_{3}=\boldsymbol{\alpha}_{3}+\boldsymbol{\alpha}_{4}, \boldsymbol{\beta}_{4}=\boldsymbol{\alpha}_{2}+\boldsymbol{\alpha}_{3}, \boldsymbol{\beta}_{5}=2 \boldsymbol{\alpha}_{1}+\boldsymbol{\alpha}_{2}+\boldsymbol{\alpha}_{3}$ ，则 $r\left(\boldsymbol{\beta}_{1}, \boldsymbol{\beta}_{2}, \boldsymbol{\beta}_{3}, \boldsymbol{\beta}_{4}, \boldsymbol{\beta}_{5}\right)=$ （A） 1 ． （B） 2 ． （C） 3 ． （D） 4 ．
💡 答案解析
**答案**：C **解析**： 步骤1：将$\boldsymbol{\beta}_1,\boldsymbol{\beta}_2,\boldsymbol{\beta}_3,\boldsymbol{\beta}_4,\boldsymbol{\beta}_5$表示为$\boldsymbol{\alpha}_1,\boldsymbol{\alpha}_2,\boldsymbol{\alpha}_3,\boldsymbol{\alpha}_4$的线性组合，系数矩阵为$4\times5$矩阵： $\begin{bmatrix}1 & 0 & 0 & 0 & 2\\0 & 1 & 0 & 1 & 1\\1 & 0 & 1 & 1 & 1\\1 & -1 & 1 & 0 & 0\end{bmatrix}$。 步骤2：该矩阵的秩为3（行变换得阶梯形），故$r(\boldsymbol{\beta}_1,\cdots,\boldsymbol{\beta}_5)=3$。 **难度**：★★★☆☆
📋 详细解题步骤
目标：步骤1：将β向量组表示为α向量组的线性组合
由已知条件，β₁ = α₁ + α₃ + α₄，β₂ = α₂ - α₄，β₃ = α₃ + α₄，β₄ = α₂ + α₃，β₅ = 2α₁ + α₂ + α₃。因此，β₁, β₂, β₃, β₄, β₅ 可由 α₁, α₂, α₃, α₄ 线性表示，系数矩阵为 4×5 矩阵：
$$A = \begin{pmatrix}
1 & 0 & 0 & 0 & 2 \\
0 & 1 & 0 & 1 & 1 \\
1 & 0 & 1 & 1 & 1 \\
1 & -1 & 1 & 0 & 0
\end{pmatrix}$$
公式：$$\beta_1 = \alpha_1 + \alpha_3 + \alpha_4, \beta_2 = \alpha_2 - \alpha_4, \beta_3 = \alpha_3 + \alpha_4, \beta_4 = \alpha_2 + \alpha_3, \beta_5 = 2\alpha_1 + \alpha_2 + \alpha_3$$
提示：注意系数矩阵的行对应α，列对应β
目标：步骤2：求系数矩阵A的秩
对矩阵A进行初等行变换：
$$\begin{pmatrix}
1 & 0 & 0 & 0 & 2 \\
0 & 1 & 0 & 1 & 1 \\
1 & 0 & 1 & 1 & 1 \\
1 & -1 & 1 & 0 & 0
\end{pmatrix} \xrightarrow{r_3 - r_1, r_4 - r_1} \begin{pmatrix}
1 & 0 & 0 & 0 & 2 \\
0 & 1 & 0 & 1 & 1 \\
0 & 0 & 1 & 1 & -1 \\
0 & -1 & 1 & 0 & -2
\end{pmatrix}$$
$$\xrightarrow{r_4 + r_2} \begin{pmatrix}
1 & 0 & 0 & 0 & 2 \\
0 & 1 & 0 & 1 & 1 \\
0 & 0 & 1 & 1 & -1 \\
0 & 0 & 1 & 1 & -1
\end{pmatrix} \xrightarrow{r_4 - r_3} \begin{pmatrix}
1 & 0 & 0 & 0 & 2 \\
0 & 1 & 0 & 1 & 1 \\
0 & 0 & 1 & 1 & -1 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 0
\end{pmatrix}$$
阶梯形矩阵有3个非零行，故秩为3。
提示：注意行变换中符号和加减顺序
目标：步骤3：确定向量组的秩
由于α₁, α₂, α₃, α₄线性无关，它们构成四维空间的一组基。β向量组的秩等于系数矩阵A的秩，即r(β₁, β₂, β₃, β₄, β₅) = r(A) = 3。
提示：注意线性无关向量组构成基
目标：步骤4：给出最终答案
因此，向量组β₁, β₂, β₃, β₄, β₅的秩为3，对应选项（C）。
提示：注意向量组秩与最大无关组的关系