📝 题目
### 第222题
已知 $\boldsymbol{A}=\left[\boldsymbol{\alpha}_{1}, \boldsymbol{\alpha}_{2}, \boldsymbol{\alpha}_{3}, \boldsymbol{\alpha}_{4}\right]$ 是四阶矩阵， $\boldsymbol{\eta}_{1}=(3,1,-2,2)^{\mathrm{T}}, \boldsymbol{\eta}_{2}=(0,-1,2,1)^{\mathrm{T}}$ 是 $\boldsymbol{A x}=\mathbf{0}$ 的基础解系，则下列命题中正确的一共有 （1） $\boldsymbol{\alpha}_{1}$ 一定可由 $\boldsymbol{\alpha}_{2}, \boldsymbol{\alpha}_{3}$ 线性表示。 （2） $\boldsymbol{\alpha}_{1}, \boldsymbol{\alpha}_{3}$ 是 $\boldsymbol{A}$ 列向量的极大线性无关组． （3）秩 $r\left(\boldsymbol{\alpha}_{1}, \boldsymbol{\alpha}_{1}+\boldsymbol{\alpha}_{2}, \boldsymbol{\alpha}_{3}-\boldsymbol{\alpha}_{4}\right)=2$ 。 （4） $\boldsymbol{\alpha}_{2}, \boldsymbol{\alpha}_{4}$ 是 $\boldsymbol{A}$ 列向量的极大线性无关组． （A） 4 个． （B） 3 个． （C） 2 个． （D） 1 个．
💡 答案解析
**答案**：D **解析**： 步骤1：$\boldsymbol{\eta}_1,\boldsymbol{\eta}_2$是基础解系，故$n-r(\boldsymbol{A})=2$，$r(\boldsymbol{A})=2$，且$\boldsymbol{\alpha}_1,\boldsymbol{\alpha}_2,\boldsymbol{\alpha}_3,\boldsymbol{\alpha}_4$的极大无关组含2个向量。 步骤2：由$\boldsymbol{\eta}_1=(3,1,-2,2)^{\mathrm{T}}$得$3\boldsymbol{\alpha}_1+\boldsymbol{\alpha}_2-2\boldsymbol{\alpha}_3+2\boldsymbol{\alpha}_4=\boldsymbol{0}$，由$\boldsymbol{\eta}_2=(0,-1,2,1)^{\mathrm{T}}$得$-\boldsymbol{\alpha}_2+2\boldsymbol{\alpha}_3+\boldsymbol{\alpha}_4=\boldsymbol{0}$。 步骤3：两式联立可解出$\boldsymbol{\alpha}_1$由$\boldsymbol{\alpha}_2,\boldsymbol{\alpha}_3$表示，故(1)正确。 步骤4：(2)中$\boldsymbol{\alpha}_1,\boldsymbol{\alpha}_3$不一定线性无关；(3)中秩需具体计算，不一定为2；(4)中$\boldsymbol{\alpha}_2,\boldsymbol{\alpha}_4$不一定线性无关。仅(1)正确。 **难度**：★★★★☆
📋 详细解题步骤
目标：确定矩阵秩
由题意，$\boldsymbol{\eta}_1, \boldsymbol{\eta}_2$ 是 $\boldsymbol{Ax}=\mathbf{0}$ 的基础解系，故 $n - r(\boldsymbol{A}) = 2$，即 $4 - r(\boldsymbol{A}) = 2$，所以 $r(\boldsymbol{A}) = 2$。因此矩阵 $\boldsymbol{A}$ 的四个列向量 $\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \boldsymbol{\alpha}_3, \boldsymbol{\alpha}_4$ 的极大线性无关组含有2个向量。
公式：$$n - r(\boldsymbol{A}) = \text{基础解系向量个数}$$
提示：注意n是未知数个数，不是方程个数
目标：写出线性关系
由 $\boldsymbol{\eta}_1 = (3,1,-2,2)^{\mathrm{T}}$ 得：$3\boldsymbol{\alpha}_1 + \boldsymbol{\alpha}_2 - 2\boldsymbol{\alpha}_3 + 2\boldsymbol{\alpha}_4 = \mathbf{0}$；由 $\boldsymbol{\eta}_2 = (0,-1,2,1)^{\mathrm{T}}$ 得：$-\boldsymbol{\alpha}_2 + 2\boldsymbol{\alpha}_3 + \boldsymbol{\alpha}_4 = \mathbf{0}$。
提示：注意系数与向量顺序对应
目标：判断命题(1)
由第一个关系式：$3\boldsymbol{\alpha}_1 = -\boldsymbol{\alpha}_2 + 2\boldsymbol{\alpha}_3 - 2\boldsymbol{\alpha}_4$，但 $\boldsymbol{\alpha}_4$ 不一定能用 $\boldsymbol{\alpha}_2,\boldsymbol{\alpha}_3$ 表示，故 $\boldsymbol{\alpha}_1$ 不一定能由 $\boldsymbol{\alpha}_2,\boldsymbol{\alpha}_3$ 线性表示。命题(1)错误。
提示：注意系数不为零时才能反解
目标：判断命题(2)
由于秩为2，极大无关组含2个向量，但 $\boldsymbol{\alpha}_1$ 和 $\boldsymbol{\alpha}_3$ 是否线性无关？从两个关系式无法直接确定它们线性无关，且可能与其他向量相关，故不能保证它们是极大无关组。命题(2)错误。
提示：极大无关组不唯一，需验证线性无关性
目标：判断命题(3)
由第二个关系式：$\boldsymbol{\alpha}_4 = \boldsymbol{\alpha}_2 - 2\boldsymbol{\alpha}_3$，代入第一个得：$3\boldsymbol{\alpha}_1 + \boldsymbol{\alpha}_2 - 2\boldsymbol{\alpha}_3 + 2(\boldsymbol{\alpha}_2 - 2\boldsymbol{\alpha}_3) = 3\boldsymbol{\alpha}_1 + 3\boldsymbol{\alpha}_2 - 6\boldsymbol{\alpha}_3 = \mathbf{0}$，即 $\boldsymbol{\alpha}_1 + \boldsymbol{\alpha}_2 - 2\boldsymbol{\alpha}_3 = \mathbf{0}$。于是 $\boldsymbol{\alpha}_1 + \boldsymbol{\alpha}_2 = 2\boldsymbol{\alpha}_3$，且 $\boldsymbol{\alpha}_3 - \boldsymbol{\alpha}_4 = \boldsymbol{\alpha}_3 - (\boldsymbol{\alpha}_2 - 2\boldsymbol{\alpha}_3) = 3\boldsymbol{\alpha}_3 - \boldsymbol{\alpha}_2$。设 $\boldsymbol{\alpha}_2, \boldsymbol{\alpha}_3$ 线性无关（因秩为2，可取一组基），则 $\boldsymbol{\alpha}_1 = 2\boldsymbol{\alpha}_3 - \boldsymbol{\alpha}_2$，于是三个向量为 $2\boldsymbol{\alpha}_3 - \boldsymbol{\alpha}_2, 2\boldsymbol{\alpha}_3, 3\boldsymbol{\alpha}_3 - \boldsymbol{\alpha}_2$，易见它们线性相关，且秩为2。故命题(3)正确。
公式：$$\boldsymbol{\alpha}_4 = \boldsymbol{\alpha}_2 - 2\boldsymbol{\alpha}_3$$
提示：代入后注意合并同类项，不要漏系数
目标：判断命题(4)
由第二个关系式：$\boldsymbol{\alpha}_4 = \boldsymbol{\alpha}_2 - 2\boldsymbol{\alpha}_3$，若 $\boldsymbol{\alpha}_2, \boldsymbol{\alpha}_4$ 线性无关，则它们可表示 $\boldsymbol{\alpha}_3$，但需验证。实际上，由关系式可知 $\boldsymbol{\alpha}_2$ 和 $\boldsymbol{\alpha}_4$ 可能线性相关（例如若 $\boldsymbol{\alpha}_2 = \mathbf{0}$ 则相关），且无法保证它们能表示所有列向量，故命题(4)错误。
公式：$$\boldsymbol{\alpha}_4 = \boldsymbol{\alpha}_2 - 2\boldsymbol{\alpha}_3$$
提示：线性无关不能保证能表示所有向量
目标：总结
综上，只有命题(3)正确，共1个。答案：D。
提示：注意区分向量组等价与矩阵等价