kaoyan1advanced 线性代数 第223题
📝 题目
### 第223题
(1991,4)$ 设方程组 $\boldsymbol{A x}=\boldsymbol{b}$ 有 $m$ 个方程，$n$ 个未知数且 $m \neq n$ ，则正确命题是 （A）若 $\boldsymbol{A x}=\mathbf{0}$ 只有零解，则 $\boldsymbol{A x}=\boldsymbol{b}$ 有唯一解。 （B）若 $\boldsymbol{A} \boldsymbol{x}=\mathbf{0}$ 有非零解，则 $\boldsymbol{A} \boldsymbol{x}=\boldsymbol{b}$ 有无穷多解． （C）若 $\boldsymbol{A x}=\boldsymbol{b}$ 有无穷多解，则 $\boldsymbol{A x}=\mathbf{0}$ 仅有零解。 （D）若 $\boldsymbol{A x}=\boldsymbol{b}$ 有无穷多解，则 $\boldsymbol{A x}=\mathbf{0}$ 有非零解。 建致谷题时间 $\leqslant 4 \mathrm{~min}
💡 答案解析
**答案**：D **解析**： 步骤1：若$\boldsymbol{A}\boldsymbol{x}=\boldsymbol{b}$有无穷多解，则$r(\boldsymbol{A})=r(\boldsymbol{A},\boldsymbol{b})
📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：分析选项D的正确性
若 $\boldsymbol{Ax}=\boldsymbol{b}$ 有无穷多解，则 $r(\boldsymbol{A})=r(\boldsymbol{A},\boldsymbol{b})
提示：注意无穷多解时秩小于n
步骤 2/5
目标：分析选项A的反例
设 $\boldsymbol{A}$ 为 $2\times3$ 矩阵，且 $r(\boldsymbol{A})=2$，则 $\boldsymbol{Ax}=\boldsymbol{0}$ 只有零解。但 $\boldsymbol{Ax}=\boldsymbol{b}$ 可能无解（例如 $\boldsymbol{b}$ 不在 $\boldsymbol{A}$ 的列空间中），因此A错误。
提示：注意齐次与非齐次方程解的关系
步骤 3/5
目标：分析选项B的反例
若 $\boldsymbol{Ax}=\boldsymbol{0}$ 有非零解，则 $r(\boldsymbol{A})
提示：注意非零解与解的存在性无关
步骤 4/5
目标：分析选项C与D的关系
由步骤1知，若 $\boldsymbol{Ax}=\boldsymbol{b}$ 有无穷多解，则 $\boldsymbol{Ax}=\boldsymbol{0}$ 有非零解，这与C的结论“仅有零解”矛盾，故C错误，D正确。
提示：注意非齐次与齐次解的关系
步骤 5/5
目标：得出最终答案
综合以上分析，正确命题是D。
提示：注意m≠n时解的情况取决于秩
📷 拍照上传批改
拍照上传批改功能已预留入口，后续接入图片上传、OCR识别与AI批改。