kaoyan1advanced 线性代数 第224题
📝 题目
### 第224题
(1997,4)$ 非齐次线性方程组 $\boldsymbol{A} \boldsymbol{x}=\boldsymbol{b}$ 中未知量个数为 $n$ ，方程个数为 $m$ ，系数矩阵 $\boldsymbol{A}$ 的秩为 $r$ ，则 （A）$r=m$ 时，方程组 $\boldsymbol{A x}=\boldsymbol{b}$ 有解． （B）$r=n$ 时，方程组 $\boldsymbol{A} \boldsymbol{x}=\boldsymbol{b}$ 有唯一解． （C）$m=n$ 时，方程组 $\boldsymbol{A} \boldsymbol{x}=\boldsymbol{b}$ 有唯一解． （D）$r
💡 答案解析
**答案**：A **解析**： 步骤1：$r=m$时，系数矩阵行满秩，则$r(\boldsymbol{A})=r(\boldsymbol{A},\boldsymbol{b})=m$，方程组有解。 步骤2：B中$r=n$时，若$m>n$，可能无解；C中$m=n$时，$|\boldsymbol{A}|=0$时无解或无穷多解；D中$r
📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：分析选项A
当 $r=m$ 时，系数矩阵 $\boldsymbol{A}$ 行满秩，即 $\boldsymbol{A}$ 的 $m$ 个行向量线性无关。此时增广矩阵 $(\boldsymbol{A}, \boldsymbol{b})$ 的秩 $r(\boldsymbol{A}, \boldsymbol{b})$ 至少为 $m$，但最多也为 $m$（因为只有 $m$ 行），故 $r(\boldsymbol{A}, \boldsymbol{b}) = m = r(\boldsymbol{A})$。根据非齐次线性方程组有解的充要条件 $r(\boldsymbol{A}) = r(\boldsymbol{A}, \boldsymbol{b})$，可知方程组 $\boldsymbol{A}\boldsymbol{x}=\boldsymbol{b}$ 有解。因此选项A正确。
公式：$$ r(\boldsymbol{A}) = r(\boldsymbol{A}, \boldsymbol{b}) $$
提示：行满秩时增广矩阵秩不变
步骤 2/5
目标：分析选项B
当 $r=n$ 时，系数矩阵 $\boldsymbol{A}$ 列满秩，但方程个数 $m$ 可能大于 $n$。例如 $m>n$ 时，增广矩阵的秩可能大于 $r(\boldsymbol{A})$，导致 $r(\boldsymbol{A}) \neq r(\boldsymbol{A}, \boldsymbol{b})$，从而方程组无解。因此 $r=n$ 不能保证有解，更谈不上唯一解。选项B错误。
提示：列满秩不能保证有解
步骤 3/5
目标：分析选项C
当 $m=n$ 时，方程组为 $n$ 个方程 $n$ 个未知量。若系数矩阵 $\boldsymbol{A}$ 的行列式 $|\boldsymbol{A}|=0$，则 $r(\boldsymbol{A}) < n$，此时方程组可能无解（当 $r(\boldsymbol{A}) \neq r(\boldsymbol{A}, \boldsymbol{b})$）或有无穷多解（当 $r(\boldsymbol{A}) = r(\boldsymbol{A}, \boldsymbol{b}) < n$）。因此 $m=n$ 不能保证唯一解。选项C错误。
公式：$$r(\boldsymbol{A}) < n$$
提示：注意行列式为零时可能无解或无穷多解
步骤 4/5
目标：分析选项D
当 $r
提示：注意秩相等是解存在的必要条件
步骤 5/5
目标：得出结论
综合以上分析，只有选项A正确。
提示：注意非齐次方程解的结构与秩的关系
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