kaoyan1advanced 线性代数 第228题
📝 题目
### 第228题
下列矩阵中，不能相似对角化的矩阵是 （A）$\left[\begin{array}{ccc}3 & 0 & 0 \\ -2 & -1 & 0 \\ 1 & 4 & 1\end{array}\right]$ ． （B）$\left[\begin{array}{lll}3 & 1 & 0 \\ 1 & 5 & 3 \\ 0 & 3 & 2\end{array}\right]$ ． （C）$\left[\begin{array}{ccc}1 & 0 & -1 \\ -3 & 0 & 3 \\ 5 & 0 & -5\end{array}\right]$ ． （D）$\left[\begin{array}{ccc}2 & 1 & 2 \\ 0 & -1 & 3 \\ 0 & 0 & 2\end{array}\right]$ ．
建设容题时问 $\leqslant 5 \mathrm{~min}$ 䇆佔
💡 答案解析
**答案**：D **解析**： 步骤1：判断各矩阵是否可相似对角化。 步骤2：对于（D），矩阵$\begin{bmatrix}2&1&2\\0&-1&3\\0&0&2\end{bmatrix}$是上三角矩阵，特征值为$2$（二重）和$-1$。对于特征值$2$，解$(A-2E)x=0$，$A-2E=\begin{bmatrix}0&1&2\\0&-3&3\\0&0&0\end{bmatrix}$，秩为2，故几何重数$=3-2=1$，小于代数重数2，故不能相似对角化。 步骤3：其他选项均可相似对角化。 **难度**：★★★☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：步骤1：分析各矩阵特征值及可对角化条件
矩阵可相似对角化的充要条件是每个特征值的代数重数等于几何重数。对于每个选项，先求特征值，再检查重特征值对应的几何重数。
公式：$$\text{可对角化} \Leftrightarrow \text{每个特征值的代数重数} = \text{几何重数}$$
提示：注意检查重特征值的几何重数
步骤 2/6
目标：步骤2：分析选项（A）
矩阵$A=\begin{bmatrix}3&0&0\\-2&-1&0\\1&4&1\end{bmatrix}$是下三角矩阵，特征值为$3,-1,1$（均为单根），故可相似对角化。
提示：单根特征值必可对角化
步骤 3/6
目标：步骤3：分析选项（B）
矩阵$B=\begin{bmatrix}3&1&0\\1&5&3\\0&3&2\end{bmatrix}$是实对称矩阵，实对称矩阵必可相似对角化，故可对角化。
提示：实对称矩阵必可相似对角化
步骤 4/6
目标：步骤4：分析选项（C）
矩阵$C=\begin{bmatrix}1&0&-1\\-3&0&3\\5&0&-5\end{bmatrix}$，计算特征多项式：$\det(\lambda I-C)=\lambda(\lambda-0)(\lambda+?)$，实际可求得特征值为$0$（二重）和$?$，但通过观察第一列与第三列成比例，秩为1，故$0$的几何重数为$3-1=2$，等于代数重数，可对角化。
提示：注意几何重数与代数重数的比较
步骤 5/6
目标：步骤5：分析选项（D）
矩阵$D=\begin{bmatrix}2&1&2\\0&-1&3\\0&0&2\end{bmatrix}$是上三角矩阵，特征值为$2$（二重）和$-1$（单根）。对于特征值$2$，计算$D-2E=\begin{bmatrix}0&1&2\\0&-3&3\\0&0&0\end{bmatrix}$，秩为2，故几何重数$=3-2=1$，小于代数重数2，因此不能相似对角化。
提示：几何重数小于代数重数时不可对角化
步骤 6/6
目标：步骤6：得出结论
选项（D）不能相似对角化，故答案为D。
提示：注意判断矩阵是否可相似对角化的条件
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