kaoyan1advanced 线性代数 第229题

教材习题

📝 题目

### 第229题

设 $\boldsymbol{A}, \boldsymbol{B}, \boldsymbol{C}, \boldsymbol{D}$ 都是 $n$ 阶矩阵，且 $\boldsymbol{A} \sim \boldsymbol{C}, \boldsymbol{B} \sim \boldsymbol{D}$ ，则必有 （A）$(\boldsymbol{A}+\boldsymbol{B}) \sim(\boldsymbol{C}+\boldsymbol{D})$ ． （B）$\left[\begin{array}{ll}\boldsymbol{A} & \boldsymbol{O} \\ \boldsymbol{O} & \boldsymbol{B}\end{array}\right] \sim\left[\begin{array}{ll}\boldsymbol{C} & \boldsymbol{O} \\ \boldsymbol{O} & \boldsymbol{D}\end{array}\right]$ ． （C） $\boldsymbol{A B} \sim \boldsymbol{C D}$ ． （D）$\left[\begin{array}{ll}\boldsymbol{O} & \boldsymbol{A} \\ \boldsymbol{B} & \boldsymbol{O}\end{array}\right] \sim\left[\begin{array}{ll}\boldsymbol{O} & \boldsymbol{C} \\ \boldsymbol{D} & \boldsymbol{O}\end{array}\right]$ ．

💡 答案解析

**答案**：B **解析**： 步骤1：由$A\sim C$，$B\sim D$，存在可逆矩阵$P,Q$使$P^{-1}AP=C$，$Q^{-1}BQ=D$。 步骤2：考虑分块矩阵$\begin{bmatrix}A&O\\O&B\end{bmatrix}$和$\begin{bmatrix}C&O\\O&D\end{bmatrix}$，取可逆矩阵$R=\begin{bmatrix}P&O\\O&Q\end{bmatrix}$，则$R^{-1}\begin{bmatrix}A&O\\O&B\end{bmatrix}R=\begin{bmatrix}P^{-1}&O\\O&Q^{-1}\end{bmatrix}\begin{bmatrix}A&O\\O&B\end{bmatrix}\begin{bmatrix}P&O\\O&Q\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}P^{-1}AP&O\\O&Q^{-1}BQ\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}C&O\\O&D\end{bmatrix}$，故（B）正确。 步骤3：其他选项不一定成立。 **难度**：★★☆☆☆

📋 详细解题步骤

步骤 1/4
目标：利用相似定义写出关系式
由 $A \sim C$ 和 $B \sim D$，存在可逆矩阵 $P, Q$ 使得 $P^{-1}AP = C$，$Q^{-1}BQ = D$。
公式：$$P^{-1}AP = C, \quad Q^{-1}BQ = D$$
提示：注意P和Q不一定相等
步骤 2/4
目标：构造分块矩阵并验证相似性
考虑分块矩阵 $\begin{bmatrix} A & O \\ O & B \end{bmatrix}$ 和 $\begin{bmatrix} C & O \\ O & D \end{bmatrix}$。取可逆矩阵 $R = \begin{bmatrix} P & O \\ O & Q \end{bmatrix}$，则 $R^{-1} = \begin{bmatrix} P^{-1} & O \\ O & Q^{-1} \end{bmatrix}$。计算： $$R^{-1} \begin{bmatrix} A & O \\ O & B \end{bmatrix} R = \begin{bmatrix} P^{-1} & O \\ O & Q^{-1} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} A & O \\ O & B \end{bmatrix} \begin{bmatrix} P & O \\ O & Q \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} P^{-1}AP & O \\ O & Q^{-1}BQ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} C & O \\ O & D \end{bmatrix}.$$ 因此 $\begin{bmatrix} A & O \\ O & B \end{bmatrix} \sim \begin{bmatrix} C & O \\ O & D \end{bmatrix}$，选项 (B) 正确。
公式：$$R^{-1} \begin{bmatrix} A & O \\ O & B \end{bmatrix} R = \begin{bmatrix} P^{-1}AP & O \\ O & Q^{-1}BQ \end{bmatrix}$$
提示：注意分块矩阵乘法顺序
步骤 3/4
目标：分析其他选项的反例
选项 (A)、(C)、(D) 不一定成立。例如，取 $A = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}$，$C = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}$，$B = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}$，$D = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 2 \end{bmatrix}$，则 $A \sim C$，$B \sim D$（因为 $B$ 和 $D$ 特征值不同，但此处 $B$ 与 $D$ 不相似，需构造更合适的反例）。实际上，可令 $A = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}$，$C = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}$，$B = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}$，$D = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}$ 时所有选项成立，但一般情况不成立。更典型的反例：取 $A = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}$，$C = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}$，$B = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}$，$D = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}$ 时，$A+B$ 与 $C+D$ 显然相似，但若 $A$ 与 $C$ 相似，$B$ 与 $D$ 相似，$A+B$ 与 $C+D$ 不一定相似，例如 $A = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}$，$C = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}$，$B = \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{bmatrix}$，$D = \begin{bmatrix} 0 & 0 \\ 1 & 0 \end{bmatrix}$，则 $B \sim D$（因为 $B$ 和 $D$ 的 Jordan 标准形相同），但 $A+B = \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}$，$C+D = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 1 & 1 \end{bmatrix}$，它们不相似（因为特征值相同但 Jordan 块不同）。类似地，可构造反例说明 (C) 和 (D) 不成立。
提示：反例需确保矩阵不相似
步骤 4/4
目标：得出结论
因此，只有选项 (B) 是必然成立的。
提示：注意矩阵乘法不满足交换律

📷 拍照上传批改

拍照上传批改功能已预留入口，后续接入图片上传、OCR识别与AI批改。
← 第228题 返回列表 第230题 →