kaoyan1advanced 线性代数 第230题
📝 题目
### 第230题
设 $\boldsymbol{\alpha}=\left(a_{1}, a_{2}, a_{3}\right)^{\mathrm{T}}$ 是单位向量，矩阵 $\boldsymbol{A}=2 \boldsymbol{E}+3 \boldsymbol{\alpha} \boldsymbol{\alpha}^{\mathrm{T}}$ ，则 $\boldsymbol{A} \sim$ （A）$\left[\begin{array}{lll}2 & & \\ & 3 & \\ & & 3\end{array}\right]$ ． （B）$\left[\begin{array}{lll}2 & & \\ & 2 & \\ & & 3\end{array}\right]$ ． （C）$\left[\begin{array}{lll}2 & & \\ & 5 & \\ & & 5\end{array}\right]$ ． （D）$\left[\begin{array}{lll}2 & & \\ & 2 & \\ & & 5\end{array}\right]$ ．
建放答题时问 $\leqslant 3 \mathrm{~min}$
💡 答案解析
**答案**：D **解析**： 步骤1：$\alpha$是单位向量，则$\alpha\alpha^{\mathrm{T}}$是秩为1的对称矩阵，特征值为$1$（对应$\alpha$方向）和$0$（二重）。 步骤2：$A=2E+3\alpha\alpha^{\mathrm{T}}$的特征值为$2+3\times1=5$（单重）和$2+3\times0=2$（二重）。 步骤3：$A$可相似对角化为$\begin{bmatrix}5&&\\&2&\\&&2\end{bmatrix}$，即选项D。 **难度**：★★☆☆☆