kaoyan1advanced 线性代数 第231题
📝 题目
### 第231题
与二次型 $f=x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+2 x_{3}^{2}+6 x_{1} x_{2}$ 的矩阵 $\boldsymbol{A}$ 既合同又相似的矩阵是 （A）$\left[\begin{array}{lll}1 & & \\ & 2 & \\ & & -8\end{array}\right]$ ． （B）$\left[\begin{array}{lll}4 & & \\ & 2 & \\ & & -2\end{array}\right]$ ． （C）$\left[\begin{array}{lll}1 & & \\ & 3 & \\ & & 0\end{array}\right]$ ． （D）$\left[\begin{array}{lll}1 & & \\ & 1 & \\ & & -1\end{array}\right]$ ．
建设荅题时问 $\leqslant 3 \mathrm{~min}$
💡 答案解析
**答案**：B **解析**： 步骤1：二次型$f$的矩阵$A=\begin{bmatrix}1&3&0\\3&1&0\\0&0&2\end{bmatrix}$。 步骤2：求$A$的特征值：$|\lambda E-A|=\begin{vmatrix}\lambda-1&-3&0\\-3&\lambda-1&0\\0&0&\lambda-2\end{vmatrix}=(\lambda-2)[(\lambda-1)^2-9]=(\lambda-2)(\lambda-4)(\lambda+2)$，特征值为$4,2,-2$。 步骤3：既合同又相似，则需特征值相同且符号相同，故对应矩阵为$\begin{bmatrix}4&&\\&2&\\&&-2\end{bmatrix}$，即选项B。 **难度**：★★★☆☆