kaoyan1advanced 线性代数 第233题

若 $\boldsymbol{A}$ 和 $\boldsymbol{B}$ 相似，则它们有相同的特征值。由于 $\boldsymbol{A}$ 和 $\boldsymbol{B}$ 都是实对称矩阵，它们可正交对角化，且正负惯性指数由特征值的符号决定。特征值相同意味着正负惯性指数相同，因此 $\boldsymbol{A}$ 和 $\boldsymbol{B}$ 合同。故（A）正确。

若 $\boldsymbol{A}$ 和 $\boldsymbol{B}$ 合同，则存在可逆矩阵 $\boldsymbol{C}$ 使得 $\boldsymbol{C}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{A} \boldsymbol{C} = \boldsymbol{B}$。考虑 $\boldsymbol{A}$ 与 $9\boldsymbol{B}$ 的关系：$\boldsymbol{C}^{\mathrm{T}} (9\boldsymbol{A}) \boldsymbol{C} = 9 \boldsymbol{C}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{A} \boldsymbol{C} = 9\boldsymbol{B}$，因此 $\boldsymbol{A}$ 与 $9\boldsymbol{B}$ 合同。故（B）正确。

若 $\boldsymbol{A}$ 和 $\boldsymbol{B}$ 合同，则存在可逆矩阵 $\boldsymbol{C}$ 使得 $\boldsymbol{C}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{A} \boldsymbol{C} = \boldsymbol{B}$。考虑 $\boldsymbol{A}+k\boldsymbol{E}$ 与 $\boldsymbol{B}+k\boldsymbol{E}$：$\boldsymbol{C}^{\mathrm{T}} (\boldsymbol{A}+k\boldsymbol{E}) \boldsymbol{C} = \boldsymbol{C}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{A} \boldsymbol{C} + k \boldsymbol{C}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{E} \boldsymbol{C} = \boldsymbol{B} + k \boldsymbol{C}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{C}$。由于 $\boldsymbol{C}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{C}$ 一般不是单位矩阵，因此 $\boldsymbol{B} + k \boldsymbol{C}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{C} \neq \boldsymbol{B} + k\boldsymbol{E}$，除非 $\boldsymbol{C}$ 是正交矩阵。故（C）不一定成立，是错误命题。

若 $\boldsymbol{A}$ 和 $\boldsymbol{B}$ 合同，则存在可逆矩阵 $\boldsymbol{C}$ 使得 $\boldsymbol{C}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{A} \boldsymbol{C} = \boldsymbol{B}$。由于 $\boldsymbol{C}$ 可逆，$\boldsymbol{C}^{\mathrm{T}}$ 也可逆，因此 $\boldsymbol{A}$ 和 $\boldsymbol{B}$ 的秩相同，即 $\boldsymbol{A}$ 和 $\boldsymbol{B}$ 等价。故（D）正确。

综合以上分析，选项（A）、（B）、（D）正确，选项（C）错误。因此，错误的命题是（C）。