kaoyan1advanced 线性代数 第234题
📝 题目
### 第234题
设 $\boldsymbol{A}$ 是 $n$ 阶实对称矩阵，将 $\boldsymbol{A}$ 的第 $i$ 列和第 $j$ 列对换得到 $\boldsymbol{B}$ ，再将 $\boldsymbol{B}$ 的第 $i$ 行和第 $j$行对换得到 $\boldsymbol{C}$ ，则 $\boldsymbol{A}$ 与 $\boldsymbol{C}$ （A）等价但不相似． （B）合同但不相似． （C）相似但不合同． （D）等价、合同且相似．
💡 答案解析
**答案**：D **解析**： 步骤1：$A$的第$i$列与第$j$列对换得到$B$，相当于右乘初等矩阵$E_{ij}$，即$B=AE_{ij}$。 步骤2：再将$B$的第$i$行与第$j$行对换得到$C$，相当于左乘$E_{ij}$，即$C=E_{ij}B=E_{ij}AE_{ij}$。 步骤3：由于$E_{ij}$是可逆且正交的（$E_{ij}^{-1}=E_{ij}$，且$E_{ij}^{\mathrm{T}}=E_{ij}$），故$C=E_{ij}AE_{ij}^{-1}$，即$A$与$C$相似；同时$C=E_{ij}^{\mathrm{T}}AE_{ij}$，即$A$与$C$合同；且秩相同，等价。 **难度**：★★☆☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：步骤1：列对换的矩阵表示
将 $\boldsymbol{A}$ 的第 $i$ 列与第 $j$ 列对换得到 $\boldsymbol{B}$，相当于 $\boldsymbol{A}$ 右乘初等矩阵 $\boldsymbol{E}_{ij}$（交换单位矩阵的第 $i$ 列与第 $j$ 列），即 $\boldsymbol{B} = \boldsymbol{A} \boldsymbol{E}_{ij}$。
公式：$$\boldsymbol{B} = \boldsymbol{A} \boldsymbol{E}_{ij}$$
提示：注意右乘初等矩阵实现列变换
步骤 2/6
目标：步骤2：行对换的矩阵表示
再将 $\boldsymbol{B}$ 的第 $i$ 行与第 $j$ 行对换得到 $\boldsymbol{C}$，相当于 $\boldsymbol{B}$ 左乘初等矩阵 $\boldsymbol{E}_{ij}$（交换单位矩阵的第 $i$ 行与第 $j$ 行），即 $\boldsymbol{C} = \boldsymbol{E}_{ij} \boldsymbol{B} = \boldsymbol{E}_{ij} \boldsymbol{A} \boldsymbol{E}_{ij}$。
公式：$$\boldsymbol{C} = \boldsymbol{E}_{ij} \boldsymbol{B} = \boldsymbol{E}_{ij} \boldsymbol{A} \boldsymbol{E}_{ij}$$
提示：注意左乘行变换，右乘列变换
步骤 3/6
目标：步骤3：分析初等矩阵的性质
初等矩阵 $\boldsymbol{E}_{ij}$ 是可逆的，且满足 $\boldsymbol{E}_{ij}^{-1} = \boldsymbol{E}_{ij}$（因为交换两次恢复原状），同时 $\boldsymbol{E}_{ij}$ 是正交矩阵，即 $\boldsymbol{E}_{ij}^{\mathrm{T}} = \boldsymbol{E}_{ij}$。
提示：注意初等矩阵交换列与交换行的区别
步骤 4/6
目标：步骤4：判断相似性
由 $\boldsymbol{C} = \boldsymbol{E}_{ij} \boldsymbol{A} \boldsymbol{E}_{ij}$ 及 $\boldsymbol{E}_{ij}^{-1} = \boldsymbol{E}_{ij}$，得 $\boldsymbol{C} = \boldsymbol{E}_{ij} \boldsymbol{A} \boldsymbol{E}_{ij}^{-1}$，故 $\boldsymbol{A}$ 与 $\boldsymbol{C}$ 相似。
公式：$$\boldsymbol{C} = \boldsymbol{E}_{ij} \boldsymbol{A} \boldsymbol{E}_{ij}^{-1}$$
提示：注意初等矩阵的逆矩阵形式
步骤 5/6
目标：步骤5：判断合同性
由 $\boldsymbol{C} = \boldsymbol{E}_{ij} \boldsymbol{A} \boldsymbol{E}_{ij}$ 及 $\boldsymbol{E}_{ij}^{\mathrm{T}} = \boldsymbol{E}_{ij}$，得 $\boldsymbol{C} = \boldsymbol{E}_{ij}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{A} \boldsymbol{E}_{ij}$，故 $\boldsymbol{A}$ 与 $\boldsymbol{C}$ 合同。
公式：$$\boldsymbol{C} = \boldsymbol{E}_{ij}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{A} \boldsymbol{E}_{ij}$$
提示：注意转置与逆的关系
步骤 6/6
目标：步骤6：判断等价性并得出结论
相似和合同均蕴含等价（秩相同），因此 $\boldsymbol{A}$ 与 $\boldsymbol{C}$ 等价、合同且相似。对应选项为 D。
提示：注意相似和合同均蕴含等价，但反之不成立
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