kaoyan1advanced 线性代数 第235题
📝 题目
### 第235题
设 $\boldsymbol{\alpha}_{1}=(1,-2,1)^{\mathrm{T}}, \boldsymbol{\alpha}_{2}=(1,-1,1)^{\mathrm{T}}$ ，若 $\boldsymbol{\alpha}_{1}, \boldsymbol{\alpha}_{2}, \boldsymbol{\alpha}_{3}$ 是向量空间 $\mathbf{R}^{3}$ 的一组基，则 $\boldsymbol{\alpha}_{3}$ 是 （A）$(-1,1,-1)^{\mathrm{T}}$ ． （B）$(1,0,1)^{\mathrm{T}}$ ． （C）$(0,1,0)^{\mathrm{T}}$ ． （D）$(0,0,1)^{\mathrm{T}}$ ．
## 解答题
💡 答案解析
**答案**：C **解析**： 步骤1：$\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3$是$\mathbb{R}^3$的一组基，则$\alpha_3$不能由$\alpha_1,\alpha_2$线性表示。 步骤2：检验各选项：对于（C）$\alpha_3=(0,1,0)^{\mathrm{T}}$，设$\alpha_3=k_1\alpha_1+k_2\alpha_2$，得方程组：$k_1+k_2=0$，$-2k_1-k_2=1$，$k_1+k_2=0$，无解，故线性无关，可作为基。 步骤3：其他选项均可由$\alpha_1,\alpha_2$线性表示。 **难度**：★★☆☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：判断向量组线性无关的条件
由于 $\boldsymbol{\alpha}_1,\boldsymbol{\alpha}_2,\boldsymbol{\alpha}_3$ 是 $\mathbb{R}^3$ 的一组基，则它们必须线性无关，即 $\boldsymbol{\alpha}_3$ 不能由 $\boldsymbol{\alpha}_1,\boldsymbol{\alpha}_2$ 线性表示。
提示：基必线性无关，注意三维空间需三个向量
步骤 2/6
目标：检验选项（A）
设 $\boldsymbol{\alpha}_3=(-1,1,-1)^{\mathrm{T}}$，令 $\boldsymbol{\alpha}_3=k_1\boldsymbol{\alpha}_1+k_2\boldsymbol{\alpha}_2$，得方程组：
\[
\begin{cases}
k_1+k_2=-1 \\
-2k_1-k_2=1 \\
k_1+k_2=-1
\end{cases}
\]
由第一、三式得 $k_1+k_2=-1$，代入第二式：$-2k_1-(-1-k_1)=1 \Rightarrow -2k_1+1+k_1=1 \Rightarrow -k_1=0 \Rightarrow k_1=0$，则 $k_2=-1$，有解，故（A）可由 $\boldsymbol{\alpha}_1,\boldsymbol{\alpha}_2$ 线性表示，排除。
公式：$$\boldsymbol{\alpha}_3 = k_1\boldsymbol{\alpha}_1 + k_2\boldsymbol{\alpha}_2$$
提示：注意方程组中第一、三式相同，避免误判无解
步骤 3/6
目标：检验选项（B）
设 $\boldsymbol{\alpha}_3=(1,0,1)^{\mathrm{T}}$，令 $\boldsymbol{\alpha}_3=k_1\boldsymbol{\alpha}_1+k_2\boldsymbol{\alpha}_2$，得方程组：
\[
\begin{cases}
k_1+k_2=1 \\
-2k_1-k_2=0 \\
k_1+k_2=1
\end{cases}
\]
由第一、三式得 $k_1+k_2=1$，代入第二式：$-2k_1-(1-k_1)=0 \Rightarrow -2k_1-1+k_1=0 \Rightarrow -k_1=1 \Rightarrow k_1=-1$，则 $k_2=2$，有解，故（B）可由 $\boldsymbol{\alpha}_1,\boldsymbol{\alpha}_2$ 线性表示，排除。
公式：$$\boldsymbol{\alpha}_3 = k_1 \boldsymbol{\alpha}_1 + k_2 \boldsymbol{\alpha}_2$$
提示：注意方程组中第一、三式相同，避免重复计算。
步骤 4/6
目标：检验选项（C）
设 $\boldsymbol{\alpha}_3=(0,1,0)^{\mathrm{T}}$，令 $\boldsymbol{\alpha}_3=k_1\boldsymbol{\alpha}_1+k_2\boldsymbol{\alpha}_2$，得方程组：
\[
\begin{cases}
k_1+k_2=0 \\
-2k_1-k_2=1 \\
k_1+k_2=0
\end{cases}
\]
由第一式 $k_2=-k_1$，代入第二式：$-2k_1-(-k_1)=1 \Rightarrow -2k_1+k_1=1 \Rightarrow -k_1=1 \Rightarrow k_1=-1$，则 $k_2=1$，满足所有方程，有解，故（C）可由 $\boldsymbol{\alpha}_1,\boldsymbol{\alpha}_2$ 线性表示，排除。
提示：注意方程组是否有解，需验证所有方程
步骤 5/6
目标：检验选项（D）
设 $\boldsymbol{\alpha}_3=(0,0,1)^{\mathrm{T}}$，令 $\boldsymbol{\alpha}_3=k_1\boldsymbol{\alpha}_1+k_2\boldsymbol{\alpha}_2$，得方程组：
\[
\begin{cases}
k_1+k_2=0 \\
-2k_1-k_2=0 \\
k_1+k_2=1
\end{cases}
\]
第一、三式矛盾（$0=1$），无解，故（D）不能由 $\boldsymbol{\alpha}_1,\boldsymbol{\alpha}_2$ 线性表示，且 $\boldsymbol{\alpha}_1,\boldsymbol{\alpha}_2,\boldsymbol{\alpha}_3$ 线性无关，可作为基。
公式：$$\boldsymbol{\alpha}_3 = k_1\boldsymbol{\alpha}_1 + k_2\boldsymbol{\alpha}_2$$
提示：注意方程组中矛盾条件导致无解
步骤 6/6
目标：得出结论
综上，$\boldsymbol{\alpha}_3$ 不能由 $\boldsymbol{\alpha}_1,\boldsymbol{\alpha}_2$ 线性表示的是选项（D），因此 $\boldsymbol{\alpha}_3=(0,0,1)^{\mathrm{T}}$ 可与 $\boldsymbol{\alpha}_1,\boldsymbol{\alpha}_2$ 构成 $\mathbb{R}^3$ 的一组基。答案：D。
提示：注意线性无关与线性表示的关系
📷 拍照上传批改
拍照上传批改功能已预留入口，后续接入图片上传、OCR识别与AI批改。