📝 题目
### 第238题
已知向量组 $\boldsymbol{\alpha}_{1}=(1,4,0,2)^{\mathrm{T}}, \boldsymbol{\alpha}_{2}=(2,7,1,3)^{\mathrm{T}}, \boldsymbol{\alpha}_{3}=(0,1,-1, a)^{\mathrm{T}}, \boldsymbol{\alpha}_{4}=(3,10$ ， $b, 4)^{\mathrm{T}}$ 线性相关． （1）求 $a, b$ 的值． （2）判断 $\boldsymbol{\alpha}_{4}$ 能否由 $\boldsymbol{\alpha}_{1}, \boldsymbol{\alpha}_{2}, \boldsymbol{\alpha}_{3}$ 线性表示？如能就写出表达式． （3）求向量组 $\boldsymbol{\alpha}_{1}, \boldsymbol{\alpha}_{2}, \boldsymbol{\alpha}_{3}, \boldsymbol{\alpha}_{4}$ 的一个极大线性无关组． （1）求 $a$ 的值； （2）求满足 $\boldsymbol{P A}=\boldsymbol{B}$ 的所有可逆矩阵 $\boldsymbol{P}$ ．
💡 答案解析
**答案**：（1）$a=1,b=5$；（2）能，$\alpha_4=\alpha_1+\alpha_2$；（3）$\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3$ **解析**： 步骤1：向量组线性相关，则矩阵$[\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3,\alpha_4]$的秩小于4。作矩阵$\begin{bmatrix}1&2&0&3\\4&7&1&10\\0&1&-1&b\\2&3&a&4\end{bmatrix}$，行变换：$r_2-4r_1$，$r_4-2r_1$得$\begin{bmatrix}1&2&0&3\\0&-1&1&-2\\0&1&-1&b\\0&-1&a&-2\end{bmatrix}$，$r_3+r_2$，$r_4-r_2$得$\begin{bmatrix}1&2&0&3\\0&-1&1&-2\\0&0&0&b-2\\0&0&a-1&0\end{bmatrix}$。 步骤2：线性相关则秩<4，故$b-2=0$且$a-1=0$，得$a=1,b=2$？检查：若$a=1$，则第四行全零，秩为2，但需$b-2=0$，得$b=2$。原题$b$在第三行第四列，应为$b=2$。但答案给出$b=5$，可能计算有误。重新计算：矩阵为$\begin{bmatrix}1&2&0&3\\4&7&1&10\\0&1&-1&b\\2&3&a&4\end{bmatrix}$，$r_2-4r_1$得$\begin{bmatrix}1&2&0&3\\0&-1&1&-2\\0&1&-1&b\\2&3&a&4\end{bmatrix}$，$r_4-2r_1$得$\begin{bmatrix}1&2&0&3\\0&-1&1&-2\\0&1&-1&b\\0&-1&a&-2\end{bmatrix}$，$r_3+r_2$得$\begin{bmatrix}1&2&0&3\\0&-1&1&-2\\0&0&0&b-2\\0&-1&a&-2\end{bmatrix}$，$r_4-r_2$得$\begin{bmatrix}1&2&0&3\\0&-1&1&-2\\0&0&0&b-2\\0&0&a-1&0\end{bmatrix}$。线性相关则第三行或第四行为零，故$b-2=0$且$a-1=0$，得$a=1,b=2$。但原题答案可能不同，按此结果继续。 步骤3：当$a=1,b=2$时，$\alpha_4$可由$\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3$线性表示。解方程组得$\alpha_4=\alpha_1+\alpha_2$。 步骤4：极大线性无关组为$\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3$（因为$\alpha_4$可由它们表示）。 **难度**：★★★☆☆
📋 详细解题步骤
目标：构建矩阵并初等行变换
由向量组 $\boldsymbol{\alpha}_{1}=(1,4,0,2)^{\mathrm{T}}, \boldsymbol{\alpha}_{2}=(2,7,1,3)^{\mathrm{T}}, \boldsymbol{\alpha}_{3}=(0,1,-1, a)^{\mathrm{T}}, \boldsymbol{\alpha}_{4}=(3,10, b, 4)^{\mathrm{T}}$ 线性相关，得矩阵 $A=[\boldsymbol{\alpha}_{1},\boldsymbol{\alpha}_{2},\boldsymbol{\alpha}_{3},\boldsymbol{\alpha}_{4}]$ 的秩小于4。作矩阵 $\begin{bmatrix}1&2&0&3\\4&7&1&10\\0&1&-1&b\\2&3&a&4\end{bmatrix}$。进行行变换：$r_2-4r_1$，$r_4-2r_1$ 得 $\begin{bmatrix}1&2&0&3\\0&-1&1&-2\\0&1&-1&b\\0&-1&a&-2\end{bmatrix}$。再 $r_3+r_2$，$r_4-r_2$ 得 $\begin{bmatrix}1&2&0&3\\0&-1&1&-2\\0&0&0&b-2\\0&0&a-1&0\end{bmatrix}$。
提示：注意行变换后矩阵秩与向量组线性相关的关系
目标：利用线性相关条件求a,b
向量组线性相关等价于矩阵的秩小于4，即行阶梯形中至少有一行全为零。观察变换后的矩阵，第三行第四列为 $b-2$，第四行第三列为 $a-1$。要使秩小于4，需 $b-2=0$ 且 $a-1=0$，解得 $a=1$，$b=2$。注意原答案给出 $b=5$，但根据计算应为 $b=2$，此处按正确计算给出。
提示：注意行阶梯形中全零行条件
目标：判断α4能否由α1,α2,α3线性表示
当 $a=1,b=2$ 时，矩阵行阶梯形为 $\begin{bmatrix}1&2&0&3\\0&-1&1&-2\\0&0&0&0\\0&0&0&0\end{bmatrix}$，秩为2。由于 $\alpha_4$ 的列对应最后一列，且行阶梯形中非零行对应 $\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3$ 线性无关，故 $\alpha_4$ 可由 $\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3$ 线性表示。解方程组 $x_1\alpha_1+x_2\alpha_2+x_3\alpha_3=\alpha_4$，由行阶梯形得 $x_1+2x_2=3$，$-x_2+x_3=-2$，取 $x_2=1$ 得 $x_1=1$，$x_3=-1$，即 $\alpha_4=\alpha_1+\alpha_2-\alpha_3$。但原答案给出 $\alpha_4=\alpha_1+\alpha_2$，可能因 $\alpha_3$ 系数为零，检查：代入 $a=1,b=2$ 时，$\alpha_3=(0,1,-1,1)^T$，$\alpha_1+\alpha_2=(3,11,1,5)^T$，与 $\alpha_4=(3,10,2,4)^T$ 不符，故正确表达式为 $\alpha_4=\alpha_1+\alpha_2-\alpha_3$。
提示：注意行阶梯形中自由变量的选取
目标：求极大线性无关组
由行阶梯形知，$\alpha_1,\alpha_2$ 线性无关，且 $\alpha_3$ 不能由 $\alpha_1,\alpha_2$ 线性表示（因为 $\alpha_3$ 的第三分量非零），故 $\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3$ 线性无关，构成一个极大线性无关组。$\alpha_4$ 可由它们表示，因此极大线性无关组为 $\boldsymbol{\alpha}_1,\boldsymbol{\alpha}_2,\boldsymbol{\alpha}_3$。
提示：注意行阶梯形中非零行对应线性无关组
目标：最终答案
（1）$a=1$，$b=2$（注：原答案 $b=5$ 有误，按正确计算）；（2）能，$\alpha_4=\alpha_1+\alpha_2-\alpha_3$；（3）极大线性无关组为 $\boldsymbol{\alpha}_1,\boldsymbol{\alpha}_2,\boldsymbol{\alpha}_3$。
提示：注意向量组线性相关性的判定