kaoyan1advanced 线性代数 第240题

**答案**：$a=1,b=2$，向量组（I）和（II）等价 **解析**： 步骤1：求向量组（I）的秩。作矩阵$[\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3]=\begin{bmatrix}1&3&9\\2&0&6\\-3&-8&-25\end{bmatrix}$，行变换：$r_2-2r_1$，$r_3+3r_1$得$\begin{bmatrix}1&3&9\\0&-6&-12\\0&1&2\end{bmatrix}$，$r_2$除以$-6$得$\begin{bmatrix}1&3&9\\0&1&2\\0&1&2\end{bmatrix}$，$r_3-r_2$得$\begin{bmatrix}1&3&9\\0&1&2\\0&0&0\end{bmatrix}$，秩为2。 步骤2：$r$（II）$=2$，故向量组（II）线性相关。作矩阵$[\beta_1,\beta_2,\beta_3]=\begin{bmatrix}0&a&b\\1&2&1\\-1&-3&0\end{bmatrix}$，行变换：交换$r_1,r_2$得$\begin{bmatrix}1&2&1\\0&a&b\\-1&-3&0\end{bmatrix}$，$r_3+r_1$得$\begin{bmatrix}1&2&1\\0&a&b\\0&-1&1\end{bmatrix}$，秩为2则行列式为0，即$\begin{vmatrix}a&b\\-1&1\end{vmatrix}=a+b=0$，且$\beta_2$可由（I）线性表出。 步骤3：$\beta_2$可由（I）线性表出，即$\beta_2$与$\alpha_1,\alpha_2$线性相关。设$\beta_2=x\alpha_1+y\alpha_2$，得方程组：$x+3y=a$，$2x+0y=2$，$-3x-8y=-3$，解得$x=1,y=0$，则$a=1$，代入$a+b=0$得$b=-1$？但答案$b=2$，需重新检查。由$\beta_2$可由（I）表出，且（I）的极大无关组为$\alpha_1,\alpha_2$，解$\beta_2=k_1\alpha_1+k_2\alpha_2$：$\begin{cases}k_1+3k_2=a\\2k_1=2\\-3k_1-8k_2=-3\end{cases}$，由第二式得$k_1=1$，代入第三式得$-3-8k_2=-3$，$k_2=0$，代入第一式得$a=1$。再由秩为2得$a+b=0$，故$b=-1$。但答案给出$b=2$，可能题目中$\beta_3$不同。按此结果，向量组（II）为$\beta_1=(0,1,-1)^T,\beta_2=(1,2,-3)^T,\beta_3=(-1,1,0)^T$，易见$\beta_1,\beta_2$线性无关，且$\beta_3$可由$\beta_1,\beta_2$表示？检查：$\beta_3=-\beta_1+\beta_2$？$-\beta_1+\beta_2=(1,1,-2)^T\neq\beta_3$。实际上，$\beta_3$与$\beta_1,\beta_2$线性相关？计算行列式$\begin{vmatrix}0&1&-1\\1&2&1\\-1&-3&0\end{vmatrix}=0$，故相关。且$\beta_1,\beta_2$可由（I）表示？$\beta_1$可由$\alpha_1,\alpha_2$表示？解$\beta_1=k_1\alpha_1+k_2\alpha_2$得$k_1+3k_2=0,2k_1=1,-3k_1-8k_2=-1$，由第二式$k_1=1/2$，代入第一式得$k_2=-1/6$，第三式$-3/2+8/6=-9/6+8/6=-1/6\neq-1$，无解，故$\beta_1$不能由（I）表出，则（I）与（II）不等价。但题目要求$r$（I）$=r$（II）且$\beta_2$可由（I）表出，按计算得$a=1,b=-1$，此时（I）与（II）不等价。 **难度**：★★★★☆