kaoyan1advanced 线性代数 第241题
📝 题目
### 第241题
（2017，数农）设向量 $\boldsymbol{\beta}=(1,1,2)^{\mathrm{T}}$ 是矩阵 $\boldsymbol{A}=\left[\begin{array}{ccc}1 & a & -1 \\ 1 & 1 & -1 \\ 0 & 4 & b\end{array}\right]$ 的特征向量． （1）求 $a, b$ 的值． （2）求方程组 $\boldsymbol{A}^{2} \boldsymbol{x}=\boldsymbol{\beta}$ 的通解．
💡 答案解析
**答案**：（1）$a=1, b=2$；（2）通解为$\displaystyle \boldsymbol{x}=k(1,0,1)^{\mathrm{T}}+\left(-\frac{1}{2},0,-\frac{1}{2}\right)^{\mathrm{T}}$，$k$为任意常数 **解析**：步骤1：由特征向量定义，设$\boldsymbol{A}\boldsymbol{\beta}=\lambda\boldsymbol{\beta}$，得方程组$\begin{cases}1+a-2=\lambda\\1+1-2=\lambda\\0+4+2b=2\lambda\end{cases}$，解得$\lambda=0$，进而$a=1,b=2$。 步骤2：由$\boldsymbol{A}^2\boldsymbol{x}=\boldsymbol{\beta}$，先求$\boldsymbol{A}^2$，再解非齐次线性方程组。求得$\boldsymbol{A}^2$后，对应齐次方程通解为$k(1,0,1)^{\mathrm{T}}$，特解为$\displaystyle \left(-\frac{1}{2},0,-\frac{1}{2}\right)^{\mathrm{T}}$，故通解如上。 **难度**：★★★☆☆