📝 题目
### 第242题
（2018，数农）已知 $A(1,1), B(2,2), C(a, 1)$ 为坐标平面上的点，其中 $a$ 为参数，问是否存在经过点 $A, B, C$ 的曲线 $y=k_{1} x+k_{2} x^{2}+k_{3} x^{3}$ ？如果存在，求出曲线方程．
💡 答案解析
**答案**：存在，曲线方程为$y=-x+2x^2-x^3$ **解析**：步骤1：将三点坐标代入$y=k_1x+k_2x^2+k_3x^3$，得方程组$\begin{cases}k_1+k_2+k_3=1\\2k_1+4k_2+8k_3=2\\ak_1+a^2k_2+a^3k_3=1\end{cases}$。 步骤2：由前两式解得$k_1=1-3k_3, k_2=2k_3$，代入第三式得$(1-3k_3)a+2k_3a^2+k_3a^3=1$，即$a-1=k_3(a^3+2a^2-3a)$。为使曲线存在，需$a$使方程有解。取$a=1$，则左边为0，右边为$k_3(1+2-3)=0$，成立，此时$k_3$任意；取$k_3=-1$，得$k_1=4, k_2=-2$，曲线为$y=4x-2x^2-x^3$，但验证$B(2,2)$：$8-8-8=-8\neq2$，故需调整。重新解：由前两式得$k_1=1-k_2-k_3, 2(1-k_2-k_3)+4k_2+8k_3=2$，化简得$2+2k_2+6k_3=2$，即$k_2=-3k_3$，则$k_1=1+2k_3$。代入$C(a,1)$：$(1+2k_3)a-3k_3a^2+k_3a^3=1$，即$a-1=k_3(a^3-3a^2+2a)=k_3a(a-1)(a-2)$。当$a=1$时，左边0=0，$k_3$任意；取$k_3=-1$，得$k_1=-1, k_2=3$，曲线$y=-x+3x^2-x^3$，验证$B$：$-2+12-8=2$，正确。故存在，曲线为$y=-x+3x^2-x^3$。 **难度**：★★★☆☆
📋 详细解题步骤
目标：代入三点坐标，建立方程组
将点 $A(1,1)$、$B(2,2)$、$C(a,1)$ 代入曲线方程 $y = k_1 x + k_2 x^2 + k_3 x^3$，得到方程组：
$$
\begin{cases}
k_1 + k_2 + k_3 = 1 \\
2k_1 + 4k_2 + 8k_3 = 2 \\
a k_1 + a^2 k_2 + a^3 k_3 = 1
\end{cases}
$$
公式：$$y = k_1 x + k_2 x^2 + k_3 x^3$$
提示：代入时注意坐标对应x和y
目标：解前两个方程，用 $k_3$ 表示 $k_1$ 和 $k_2$
由前两个方程：
从第一个方程得 $k_1 = 1 - k_2 - k_3$，代入第二个方程：
$2(1 - k_2 - k_3) + 4k_2 + 8k_3 = 2$，
化简得 $2 + 2k_2 + 6k_3 = 2$，即 $2k_2 + 6k_3 = 0$，
所以 $k_2 = -3k_3$，进而 $k_1 = 1 - (-3k_3) - k_3 = 1 + 2k_3$。
提示：代入时注意符号和系数
目标：代入第三个方程，分析参数 $a$ 的条件
将 $k_1 = 1 + 2k_3$，$k_2 = -3k_3$ 代入第三个方程：
$(1 + 2k_3)a + (-3k_3)a^2 + k_3 a^3 = 1$，
整理得 $a + 2a k_3 - 3a^2 k_3 + a^3 k_3 = 1$，
即 $a - 1 = k_3 (a^3 - 3a^2 + 2a) = k_3 a (a-1)(a-2)$。
为使曲线存在，需存在实数 $k_3$ 满足此式。
公式：$$a - 1 = k_3 a (a-1)(a-2)$$
提示：注意参数a的取值对解的影响
目标：确定参数 $a$ 的值并求解 $k_3$
观察方程 $a - 1 = k_3 a (a-1)(a-2)$。
当 $a = 1$ 时，左边为 $0$，右边为 $k_3 \cdot 1 \cdot 0 \cdot (-1) = 0$，等式恒成立，$k_3$ 可取任意实数。
取 $k_3 = -1$，则 $k_1 = 1 + 2(-1) = -1$，$k_2 = -3(-1) = 3$，
得到曲线方程 $y = -x + 3x^2 - x^3$。
验证点 $B(2,2)$：$-2 + 12 - 8 = 2$，正确。
因此存在这样的曲线。
提示：注意a=1时等式恒成立，需取具体值验证
目标：得出曲线方程
存在经过点 $A, B, C$ 的曲线，方程为：
$$
y = -x + 3x^2 - x^3
$$
公式：$$y = -x + 3x^2 - x^3$$
提示：注意参数a需满足三点共线条件