kaoyan1advanced 线性代数 第243题
📝 题目
### 第243题
设方程组
$$ $\left\{\begin{aligned}$ x_{1}-2 x_{2}+3 x_{3}+4 x_{4} & =5, \\ 2 x_{1}-4 x_{2}+5 x_{3}+6 x_{4} & =7, \\ 4 x_{1}+a x_{2}+9 x_{3}+10 x_{4} & =11 . $\end{aligned}\right.$ $$
（1）当 $a$ 为何值时方程组有解？并求其通解． （2）求方程组满足 $x_{1}=x_{2}$ 的所有解。
💡 答案解析
**答案**：（1）$a=8$时方程组有解，通解为$\boldsymbol{x}=k_1(2,1,0,0)^{\mathrm{T}}+k_2(1,0,1,-1)^{\mathrm{T}}+(-1,0,2,0)^{\mathrm{T}}$，$k_1,k_2$为任意常数；（2）满足$x_1=x_2$的解为$\boldsymbol{x}=k(1,1,1,-1)^{\mathrm{T}}+(-1,-1,2,0)^{\mathrm{T}}$，$k$为任意常数 **解析**：步骤1：写出增广矩阵$\begin{pmatrix}1&-2&3&4&5\\2&-4&5&6&7\\4&a&9&10&11\end{pmatrix}$，初等行变换得$\begin{pmatrix}1&-2&3&4&5\\0&0&-1&-2&-3\\0&0&0&0&a-8\end{pmatrix}$，有解需$a-8=0$，即$a=8$。此时通解为$\boldsymbol{x}=k_1(2,1,0,0)^{\mathrm{T}}+k_2(1,0,1,-1)^{\mathrm{T}}+(-1,0,2,0)^{\mathrm{T}}$。 步骤2：令$x_1=x_2$，代入通解得$2k_1+k_2-1=k_1$，即$k_1+k_2=1$，代入得解为$\boldsymbol{x}=k(1,1,1,-1)^{\mathrm{T}}+(-1,-1,2,0)^{\mathrm{T}}$。 **难度**：★★★☆☆