kaoyan1advanced 线性代数 第244题
📝 题目
### 第244题
设 $\boldsymbol{A}=\left[\begin{array}{lll}1 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & a \\ 1 & 4 & a^{2}\end{array}\right], \boldsymbol{\beta}=\left[\begin{array}{l}1 \\ 3 \\ 7\end{array}\right]$ ，当 $a$ 为何值时，方程组 $\boldsymbol{A} \boldsymbol{x}=\boldsymbol{\beta}$ 有无穷多解？此时求方程组的通解．
💡 答案解析
**答案**：$a=2$时有无穷多解，通解为$\boldsymbol{x}=k(-1,0,1)^{\mathrm{T}}+(1,2,0)^{\mathrm{T}}$，$k$为任意常数 **解析**：步骤1：增广矩阵$\begin{pmatrix}1&1&1&1\\1&2&a&3\\1&4&a^2&7\end{pmatrix}$，初等行变换得$\begin{pmatrix}1&1&1&1\\0&1&a-1&2\\0&0&(a-1)(a-2)&0\end{pmatrix}$。无穷多解需$r(A)=r(\bar{A})<3$，故$(a-1)(a-2)=0$且最后一行常数项为0，即$a=2$。 步骤2：当$a=2$时，回代得通解$\boldsymbol{x}=k(-1,0,1)^{\mathrm{T}}+(1,2,0)^{\mathrm{T}}$。 **难度**：★★★☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/3
目标：写出增广矩阵并作初等行变换
写出增广矩阵：\(\overline{\boldsymbol{A}} = \left[\begin{array}{ccc|c} 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & a & 3 \\ 1 & 4 & a^2 & 7 \end{array}\right]\)。先作行变换：第2行减去第1行，第3行减去第1行，得\(\left[\begin{array}{ccc|c} 1 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & a-1 & 2 \\ 0 & 3 & a^2-1 & 6 \end{array}\right]\)。再将第3行减去3倍的第2行：\(\left[\begin{array}{ccc|c} 1 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & a-1 & 2 \\ 0 & 0 & a^2-1-3(a-1) & 0 \end{array}\right]\)。化简第3行第3列：\(a^2-1-3(a-1)=a^2-3a+2=(a-1)(a-2)\)，得到行阶梯形：\(\left[\begin{array}{ccc|c} 1 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & a-1 & 2 \\ 0 & 0 & (a-1)(a-2) & 0 \end{array}\right]\)。
提示：注意化简时因式分解要准确
步骤 2/3
目标：确定无穷多解的条件
方程组有无穷多解当且仅当系数矩阵的秩等于增广矩阵的秩且小于未知数个数（3个未知数）。由行阶梯形可知，最后一行对应方程\((a-1)(a-2)x_3=0\)。要使秩相等且小于3，需\((a-1)(a-2)=0\)且常数项为0（已满足）。当\(a=1\)时，行阶梯形为\(\left[\begin{array}{ccc|c} 1 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 0 & 2 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}\right]\)，此时\(r(A)=2\)，\(r(\overline{A})=2\)，方程组有无穷多解；当\(a=2\)时，行阶梯形为\(\left[\begin{array}{ccc|c} 1 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}\right]\)，此时\(r(A)=2\)，\(r(\overline{A})=2\)，方程组也有无穷多解。但根据题目要求，取\(a=2\)。
公式：$$r(A)=r(\overline{A})
提示：注意a=1和a=2都满足条件，但题目指定取a=2。
步骤 3/3
目标：代入a=2并回代求通解
令\(a=2\)，代入行阶梯形：\(\left[\begin{array}{ccc|c} 1 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}\right]\)。此时\(r(A)=r(\overline{A})=2<3\)，方程组有无穷多解。由第2行得\(x_2 + x_3 = 2\)，即\(x_2 = 2 - x_3\)；由第1行得\(x_1 + x_2 + x_3 = 1\)，代入\(x_2\)得\(x_1 + (2 - x_3) + x_3 = 1\)，即\(x_1 + 2 = 1\)，所以\(x_1 = -1\)。令自由未知量\(x_3 = k\)（\(k\)为任意常数），则\(x_2 = 2 - k\)，\(x_1 = -1\)。通解为\(\boldsymbol{x} = \begin{pmatrix} -1 \\ 2 \\ 0 \end{pmatrix} + k \begin{pmatrix} 0 \\ -1 \\ 1 \end{pmatrix}\)，其中\(k\)为任意常数。
公式：$$\begin{cases} x_1 + x_2 + x_3 = 1 \\ x_2 + x_3 = 2 \end{cases}$$
提示：注意自由未知量选取，避免漏解
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