kaoyan1advanced 线性代数 第245题

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📝 题目

### 第245题

已知 $\boldsymbol{A}$ 是 $n$ 阶矩阵，证明 $\boldsymbol{A}^{2}=\boldsymbol{A}$ 的充分必要条件是 $r(\boldsymbol{A})+r(\boldsymbol{A}-\boldsymbol{E})=n$ ． 建设谷题时间 $\leqslant 10 \mathrm{~min}$

💡 答案解析

**答案**：证明见解析 **解析**：步骤1：必要性。若$\boldsymbol{A}^2=\boldsymbol{A}$，则$\boldsymbol{A}(\boldsymbol{A}-\boldsymbol{E})=\boldsymbol{O}$，故$r(\boldsymbol{A})+r(\boldsymbol{A}-\boldsymbol{E})\leq n$。又$r(\boldsymbol{A})+r(\boldsymbol{A}-\boldsymbol{E})\geq r(\boldsymbol{A}+(\boldsymbol{E}-\boldsymbol{A}))=r(\boldsymbol{E})=n$，所以$r(\boldsymbol{A})+r(\boldsymbol{A}-\boldsymbol{E})=n$。 步骤2：充分性。若$r(\boldsymbol{A})+r(\boldsymbol{A}-\boldsymbol{E})=n$，则$\boldsymbol{A}$与$\boldsymbol{A}-\boldsymbol{E}$的零空间维数之和为$n$。考虑$\boldsymbol{A}^2-\boldsymbol{A}=\boldsymbol{A}(\boldsymbol{A}-\boldsymbol{E})$，其秩为0，故$\boldsymbol{A}^2=\boldsymbol{A}$。 **难度**：★★★★☆

📋 详细解题步骤

步骤 1/3
目标：必要性证明
若 $\boldsymbol{A}^2 = \boldsymbol{A}$，则 $\boldsymbol{A}(\boldsymbol{A} - \boldsymbol{E}) = \boldsymbol{O}$。由矩阵秩的性质，$r(\boldsymbol{A}) + r(\boldsymbol{A} - \boldsymbol{E}) \leq n$。又因为 $r(\boldsymbol{A}) + r(\boldsymbol{A} - \boldsymbol{E}) \geq r(\boldsymbol{A} + (\boldsymbol{E} - \boldsymbol{A})) = r(\boldsymbol{E}) = n$，所以 $r(\boldsymbol{A}) + r(\boldsymbol{A} - \boldsymbol{E}) = n$。
公式：$$r(\boldsymbol{A}) + r(\boldsymbol{A} - \boldsymbol{E}) \leq n$$ 和 $$r(\boldsymbol{A}) + r(\boldsymbol{A} - \boldsymbol{E}) \geq r(\boldsymbol{E}) = n$$
提示：注意秩不等式方向及等式推导
步骤 2/3
目标：充分性证明
若 $r(\boldsymbol{A}) + r(\boldsymbol{A} - \boldsymbol{E}) = n$，则 $\boldsymbol{A}$ 与 $\boldsymbol{A} - \boldsymbol{E}$ 的零空间维数之和为 $n$。考虑 $\boldsymbol{A}^2 - \boldsymbol{A} = \boldsymbol{A}(\boldsymbol{A} - \boldsymbol{E})$，其秩为 $0$，故 $\boldsymbol{A}^2 = \boldsymbol{A}$。
公式：$$r(\boldsymbol{A}) + r(\boldsymbol{A} - \boldsymbol{E}) = n \Rightarrow \boldsymbol{A}^2 = \boldsymbol{A}$$
提示：注意零空间维数之和为n的推导
步骤 3/3
目标：结论
综上，$\boldsymbol{A}^2 = \boldsymbol{A}$ 的充分必要条件是 $r(\boldsymbol{A}) + r(\boldsymbol{A} - \boldsymbol{E}) = n$。
提示：注意秩的等式推导中隐含条件

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