📝 题目
### 第246题
已知 $\boldsymbol{A}$ 是三阶矩阵， $\boldsymbol{\alpha}_{1}, \boldsymbol{\alpha}_{2}, \boldsymbol{\alpha}_{3}$ 是三维线性无关的列向量，且满足
$$ $\boldsymbol{A} \boldsymbol{\alpha}_{1}=3 \boldsymbol{\alpha}_{1}+4 \boldsymbol{\alpha}_{3}, \boldsymbol{A} \boldsymbol{\alpha}_{2}=2 \boldsymbol{\alpha}_{1}-\boldsymbol{\alpha}_{2}+2 \boldsymbol{\alpha}_{3}, \boldsymbol{A} \boldsymbol{\alpha}_{3}=-2 \boldsymbol{\alpha}_{1}-3 \boldsymbol{\alpha}_{3} .$ $$
（1）求矩阵 $\boldsymbol{A}$ 的特征值． （2）判断矩阵 $\boldsymbol{A}$ 能否相似对角化，说明理由． （3）求秩 $r\left(\boldsymbol{A}^{2}+\boldsymbol{A}\right)$ 。
💡 答案解析
**答案**：（1）特征值为$1, -1, -2$；（2）能相似对角化，理由见解析；（3）$r(\boldsymbol{A}^2+\boldsymbol{A})=2$ **解析**：步骤1：令$\boldsymbol{P}=(\boldsymbol{\alpha}_1,\boldsymbol{\alpha}_2,\boldsymbol{\alpha}_3)$，则$\boldsymbol{A}\boldsymbol{P}=\boldsymbol{P}\boldsymbol{B}$，其中$\boldsymbol{B}=\begin{pmatrix}3&2&-2\\0&-1&0\\4&2&-3\end{pmatrix}$。求$\boldsymbol{B}$的特征值：$|\lambda\boldsymbol{E}-\boldsymbol{B}|=(\lambda-1)(\lambda+1)(\lambda+2)=0$，特征值为$1,-1,-2$。 步骤2：$\boldsymbol{B}$有三个不同特征值，可对角化，故$\boldsymbol{A}$也可对角化。 步骤3：$\boldsymbol{A}^2+\boldsymbol{A}$的特征值为$1^2+1=2, (-1)^2+(-1)=0, (-2)^2+(-2)=2$，故非零特征值个数为2，$r(\boldsymbol{A}^2+\boldsymbol{A})=2$。 **难度**：★★★★☆
📋 详细解题步骤
目标：建立矩阵关系，将问题转化为矩阵B的特征值问题
令 $\boldsymbol{P} = (\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \boldsymbol{\alpha}_3)$，由于 $\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \boldsymbol{\alpha}_3$ 线性无关，$\boldsymbol{P}$ 可逆。由已知条件：
$$\boldsymbol{A}\boldsymbol{\alpha}_1 = 3\boldsymbol{\alpha}_1 + 4\boldsymbol{\alpha}_3, \quad \boldsymbol{A}\boldsymbol{\alpha}_2 = 2\boldsymbol{\alpha}_1 - \boldsymbol{\alpha}_2 + 2\boldsymbol{\alpha}_3, \quad \boldsymbol{A}\boldsymbol{\alpha}_3 = -2\boldsymbol{\alpha}_1 - 3\boldsymbol{\alpha}_3.$$
写成矩阵形式：
$$\boldsymbol{A}\boldsymbol{P} = \boldsymbol{P} \begin{pmatrix} 3 & 2 & -2 \\ 0 & -1 & 0 \\ 4 & 2 & -3 \end{pmatrix}.$$
记 $\boldsymbol{B} = \begin{pmatrix} 3 & 2 & -2 \\ 0 & -1 & 0 \\ 4 & 2 & -3 \end{pmatrix}$，则 $\boldsymbol{A}$ 与 $\boldsymbol{B}$ 相似，故有相同的特征值。
公式：$$\boldsymbol{A}\boldsymbol{P} = \boldsymbol{P}\boldsymbol{B}$$
提示：注意矩阵乘法顺序，左乘A右乘P
目标：求矩阵B的特征值
计算 $\boldsymbol{B}$ 的特征多项式：
$$|\lambda\boldsymbol{E} - \boldsymbol{B}| = \begin{vmatrix} \lambda-3 & -2 & 2 \\ 0 & \lambda+1 & 0 \\ -4 & -2 & \lambda+3 \end{vmatrix}.$$
按第二行展开：
$$= (\lambda+1) \begin{vmatrix} \lambda-3 & 2 \\ -4 & \lambda+3 \end{vmatrix} = (\lambda+1)[(\lambda-3)(\lambda+3) + 8] = (\lambda+1)(\lambda^2 - 9 + 8) = (\lambda+1)(\lambda^2 - 1).$$
因此 $|\lambda\boldsymbol{E} - \boldsymbol{B}| = (\lambda+1)(\lambda-1)(\lambda+2) = 0$，解得特征值为 $\lambda_1 = 1, \lambda_2 = -1, \lambda_3 = -2$。所以 $\boldsymbol{A}$ 的特征值为 $1, -1, -2$。
公式：$$|\lambda\boldsymbol{E} - \boldsymbol{B}| = (\lambda+1)(\lambda-1)(\lambda+2) = 0$$
提示：按第二行展开时注意符号和行列式计算
目标：判断矩阵A能否相似对角化
由于 $\boldsymbol{B}$ 有三个不同的特征值 $1, -1, -2$，故 $\boldsymbol{B}$ 可相似对角化。又因为 $\boldsymbol{A}$ 与 $\boldsymbol{B}$ 相似，所以 $\boldsymbol{A}$ 也可相似对角化。
提示：相似矩阵有相同的可对角化性
目标：求矩阵A²+A的秩
由 $\boldsymbol{A}$ 可对角化，存在可逆矩阵 $\boldsymbol{Q}$ 使得 $\boldsymbol{Q}^{-1}\boldsymbol{A}\boldsymbol{Q} = \mathrm{diag}(1, -1, -2)$。则
$$\boldsymbol{A}^2 + \boldsymbol{A} = \boldsymbol{Q} \mathrm{diag}(1^2+1, (-1)^2+(-1), (-2)^2+(-2)) \boldsymbol{Q}^{-1} = \boldsymbol{Q} \mathrm{diag}(2, 0, 2) \boldsymbol{Q}^{-1}.$$
对角矩阵 $\mathrm{diag}(2, 0, 2)$ 的非零特征值个数为2，故 $r(\boldsymbol{A}^2+\boldsymbol{A}) = 2$。
公式：$$\boldsymbol{A}^2 + \boldsymbol{A} = \boldsymbol{Q} \mathrm{diag}(\lambda_1^2+\lambda_1, \lambda_2^2+\lambda_2, \lambda_3^2+\lambda_3) \boldsymbol{Q}^{-1}$$
提示：注意特征值代入后零值判断