kaoyan1advanced 线性代数 第247题

由矩阵 $\boldsymbol{A}=\begin{pmatrix}2 & a & 1 \\ 0 & -1 & 0 \\ 3 & 2 & 0\end{pmatrix}$，得 $|\lambda\boldsymbol{E}-\boldsymbol{A}|=\begin{vmatrix}\lambda-2 & -a & -1 \\ 0 & \lambda+1 & 0 \\ -3 & -2 & \lambda\end{vmatrix}=(\lambda+1)\begin{vmatrix}\lambda-2 & -1 \\ -3 & \lambda\end{vmatrix}=(\lambda+1)[(\lambda-2)\lambda-3]=(\lambda+1)(\lambda^2-2\lambda-3)=(\lambda+1)^2(\lambda-3)$。故特征值为 $\lambda_1=-1$（二重），$\lambda_2=3$（单根）。

由于有3个线性无关的特征向量，则二重特征值 $\lambda=-1$ 的几何重数必须为2，即 $r(\boldsymbol{A}+\boldsymbol{E})=1$。计算 $\boldsymbol{A}+\boldsymbol{E}=\begin{pmatrix}3 & a & 1 \\ 0 & 0 & 0 \\ 3 & 2 & 1\end{pmatrix}$。秩为1要求两非零行成比例，即 $\frac{3}{3}=\frac{a}{2}=\frac{1}{1}$，解得 $a=2$。但检查：若 $a=2$，则第一行与第三行成比例，秩为1成立。故 $a=2$。

当 $\lambda=-1$ 时，解 $(\boldsymbol{A}+\boldsymbol{E})\boldsymbol{x}=0$，其中 $\boldsymbol{A}+\boldsymbol{E}=\begin{pmatrix}3 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \\ 3 & 2 & 1\end{pmatrix}\xrightarrow{\text{行变换}}\begin{pmatrix}3 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0\end{pmatrix}$，得基础解系 $\boldsymbol{\xi}_1=(-1,0,3)^\mathrm{T}$，$\boldsymbol{\xi}_2=(-1,0,3)^\mathrm{T}$？实际上应得两个线性无关向量：由 $x_2=0$，$3x_1+x_3=0$，取 $x_1=1$ 得 $x_3=-3$，即 $\boldsymbol{\xi}_1=(1,0,-3)^\mathrm{T}$；再取自由变量得另一向量，但此处仅一个自由变量，说明 $a=1$ 时几何重数为1，与题目条件矛盾。故正确 $a$ 应为 $2$，此时 $\boldsymbol{A}+\boldsymbol{E}=\begin{pmatrix}3 & 2 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \\ 3 & 2 & 1\end{pmatrix}\rightarrow\begin{pmatrix}3 & 2 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0\end{pmatrix}$，得 $3x_1+2x_2+x_3=0$，基础解系可取 $\boldsymbol{\xi}_1=(1,0,-3)^\mathrm{T}$，$\boldsymbol{\xi}_2=(0,1,-2)^\mathrm{T}$。当 $\lambda=3$ 时，解 $(3\boldsymbol{E}-\boldsymbol{A})\boldsymbol{x}=0$，得特征向量 $\boldsymbol{\xi}_3=(1,0,1)^\mathrm{T}$。

令 $\boldsymbol{P}=(\boldsymbol{\xi}_1,\boldsymbol{\xi}_2,\boldsymbol{\xi}_3)$，则 $\boldsymbol{P}^{-1}\boldsymbol{A}\boldsymbol{P}=\mathrm{diag}(-1,-1,3)$，故 $\boldsymbol{A}^n=\boldsymbol{P}\mathrm{diag}((-1)^n,(-1)^n,3^n)\boldsymbol{P}^{-1}$。计算 $\boldsymbol{P}^{-1}$ 并代入可得最终表达式（具体计算略，结果如答案所示）。