📝 题目
### 第250题
设三阶实对称矩阵 $\boldsymbol{A}$ 的特征值是 $1,-2,0$ ，矩阵属于特征值 $1,-2$ 的特征向量分别是 $\boldsymbol{\alpha}_{1}=(-1,-1,1)^{\mathrm{T}}, \boldsymbol{\alpha}_{2}=(1, a,-1)^{\mathrm{T}}$ 。 （1）求 $\boldsymbol{A}$ 属于特征值 0 的特征向量． （2）求二次型 $\boldsymbol{x}^{T} \boldsymbol{A} \boldsymbol{x}$ ． （3）若二次型 $\boldsymbol{x}^{\mathrm{T}}(\boldsymbol{A}+k \boldsymbol{E}) \boldsymbol{x}$ 的规范形是 $y_{1}^{2}+y_{2}^{2}-y_{3}^{2}$ ，求 $k$ 。
💡 答案解析
**答案**：（1）$\boldsymbol{\alpha}_3=k(1,0,1)^{\mathrm{T}}$，$k$为非零常数；（2）$\boldsymbol{x}^{\mathrm{T}}\boldsymbol{A}\boldsymbol{x}=x_1^2-2x_2^2+2x_1x_3$；（3）$k=1$ **解析**：步骤1：实对称矩阵不同特征值特征向量正交，故$\boldsymbol{\alpha}_1^{\mathrm{T}}\boldsymbol{\alpha}_2=0$得$-1-a-1=0$，$a=-2$。设$\boldsymbol{\alpha}_3=(x_1,x_2,x_3)^{\mathrm{T}}$，与$\boldsymbol{\alpha}_1,\boldsymbol{\alpha}_2$正交，解得$\boldsymbol{\alpha}_3=(1,0,1)^{\mathrm{T}}$。 步骤2：由特征值特征向量得$\boldsymbol{A}=\boldsymbol{P}\boldsymbol{\Lambda}\boldsymbol{P}^{-1}$，计算得$\boldsymbol{A}=\begin{pmatrix}1&0&1\\0&-2&0\\1&0&1\end{pmatrix}$，二次型为$x_1^2-2x_2^2+2x_1x_3$。 步骤3：$\boldsymbol{A}+k\boldsymbol{E}$特征值为$1+k, -2+k, k$，规范形为$y_1^2+y_2^2-y_3^2$，故正特征值个数为2，负为1，得$k=1$。 **难度**：★★★★☆
📋 详细解题步骤
目标：步骤1：利用正交性求参数a
由于$\boldsymbol{A}$是实对称矩阵，不同特征值对应的特征向量正交。因此$\boldsymbol{\alpha}_1$与$\boldsymbol{\alpha}_2$正交，即$\boldsymbol{\alpha}_1^{\mathrm{T}}\boldsymbol{\alpha}_2=0$。计算得：$(-1)\times1+(-1)\times a+1\times(-1)=-1-a-1=0$，解得$a=-2$。
公式：$$\boldsymbol{\alpha}_1^{\mathrm{T}}\boldsymbol{\alpha}_2=0$$
提示：注意正交条件中向量顺序
目标：步骤2：求特征值0的特征向量
设特征值0的特征向量为$\boldsymbol{\alpha}_3=(x_1,x_2,x_3)^{\mathrm{T}}$，它与$\boldsymbol{\alpha}_1$和$\boldsymbol{\alpha}_2$均正交，即满足方程组：
\begin{cases}
-1\cdot x_1+(-1)\cdot x_2+1\cdot x_3=0 \\
1\cdot x_1+(-2)\cdot x_2+(-1)\cdot x_3=0
\end{cases}
解得$x_1=x_3$，$x_2=0$，取$x_1=1$得基础解系$(1,0,1)^{\mathrm{T}}$。因此$\boldsymbol{\alpha}_3=k(1,0,1)^{\mathrm{T}}$，$k$为非零常数。
公式：$$\begin{cases} -1\cdot x_1+(-1)\cdot x_2+1\cdot x_3=0 \\ 1\cdot x_1+(-2)\cdot x_2+(-1)\cdot x_3=0 \end{cases}$$
提示：注意正交条件与方程组系数对应
目标：步骤3：构造矩阵A并求二次型
取$\boldsymbol{P}=(\boldsymbol{\alpha}_1,\boldsymbol{\alpha}_2,\boldsymbol{\alpha}_3)$，$\boldsymbol{\Lambda}=\operatorname{diag}(1,-2,0)$，则$\boldsymbol{A}=\boldsymbol{P}\boldsymbol{\Lambda}\boldsymbol{P}^{-1}$。计算得：
$$\boldsymbol{A}=\begin{pmatrix}1&0&1\\0&-2&0\\1&0&1\end{pmatrix}$$
因此二次型$\boldsymbol{x}^{\mathrm{T}}\boldsymbol{A}\boldsymbol{x}=x_1^2-2x_2^2+2x_1x_3$。
公式：$$\boldsymbol{A}=\boldsymbol{P}\boldsymbol{\Lambda}\boldsymbol{P}^{-1}$$
提示：注意特征向量顺序与特征值对应
目标：步骤4：分析A+kE的特征值
$\boldsymbol{A}+k\boldsymbol{E}$的特征值为$1+k$，$-2+k$，$k$。规范形$y_1^2+y_2^2-y_3^2$表明正特征值个数为2，负特征值个数为1。
公式：$$\lambda_{A+kE} = \lambda_A + k$$
提示：注意正负特征值个数与规范形符号的关系
目标：步骤5：确定k的值
为使正特征值个数为2，负为1，需满足：$1+k>0$，$-2+k<0$，$k>0$（或$1+k>0$，$-2+k>0$，$k<0$，但后者导致三个正数，不合题意）。解得$k=1$（此时$1+1=2>0$，$-2+1=-1<0$，$1>0$，符合条件）。
提示：注意正负特征值个数条件
目标：答案
（1）$\boldsymbol{\alpha}_3=k(1,0,1)^{\mathrm{T}}$，$k$为非零常数；（2）$\boldsymbol{x}^{\mathrm{T}}\boldsymbol{A}\boldsymbol{x}=x_1^2-2x_2^2+2x_1x_3$；（3）$k=1$
提示：注意特征向量方向可任意缩放