kaoyan1advanced 线性代数 第251题
📝 题目
### 第251题
二次型 $\boldsymbol{x}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{A x}=2 x_{2}^{2}+2 x_{1} x_{2}-2 x_{1} x_{3}+2 a x_{2} x_{3}$ 的秩为 2 ． （1）求 $a$ 的值． （2）求正交变换 $\boldsymbol{x}=\boldsymbol{Q} \boldsymbol{y}$ 化二次型为标准形，并写出所用坐标变换． （3）若 $\boldsymbol{A}+k \boldsymbol{E}$ 是正定矩阵，求 $k$ ．
💡 答案解析
**答案**：（1）$a=1$；（2）标准形为$2y_1^2+2y_2^2$，正交变换$\displaystyle \boldsymbol{x}=\begin{pmatrix}\frac{1}{\sqrt{2}}&\frac{1}{\sqrt{6}}&\frac{1}{\sqrt{3}}\\0&-\frac{2}{\sqrt{6}}&\frac{1}{\sqrt{3}}\\-\frac{1}{\sqrt{2}}&\frac{1}{\sqrt{6}}&\frac{1}{\sqrt{3}}\end{pmatrix}\boldsymbol{y}$；（3）$k>0$ **解析**：步骤1：二次型矩阵$\boldsymbol{A}=\begin{pmatrix}0&1&-1\\1&2&a\\-1&a&0\end{pmatrix}$，秩为2，故$|\boldsymbol{A}|=0$，解得$a=1$。 步骤2：特征多项式$|\lambda\boldsymbol{E}-\boldsymbol{A}|=\lambda(\lambda-2)(\lambda+2)=0$，特征值$2,0,-2$。秩为2，取非零特征值$2,-2$，但标准形需平方项系数，正交变换下标准形为$2y_1^2-2y_2^2$。注意秩为2，故有一个零特征值，标准形应为$2y_1^2-2y_2^2$。求特征向量并正交化得$\boldsymbol{Q}$。 步骤3：$\boldsymbol{A}+k\boldsymbol{E}$正定，需所有特征值大于0，即$2+k>0, -2+k>0, k>0$，得$k>2$。但原题秩为2，零特征值对应$k>0$，故$k>2$。 **难度**：★★★★☆