kaoyan1advanced 线性代数 第252题
📝 题目
### 第252题
已知二次型 $f\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right)=x_{1}^{2}+(a+3) x_{2}^{2}+a x_{3}^{2}+4 x_{1} x_{2}+2 x_{2} x_{3}-2 x_{1} x_{3}$ 的规范形为 $z_{1}^{2}-z_{2}^{2}$ ．求 $a$ 的值与将其化为规范形的可逆线性变换．
💡 答案解析
**答案**：$a=1$，可逆线性变换为$\begin{pmatrix}x_1\\x_2\\x_3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1&0&1\\0&1&0\\0&0&1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}z_1\\z_2\\z_3\end{pmatrix}$ **解析**：步骤1：二次型矩阵$\boldsymbol{A}=\begin{pmatrix}1&2&-1\\2&a+3&1\\-1&1&a\end{pmatrix}$，规范形为$z_1^2-z_2^2$，故秩为2，正惯性指数为1，负为1。由$|\boldsymbol{A}|=0$得$a=1$或$a=-3$。验证$a=1$时特征值为$0,2,-2$，符合；$a=-3$时特征值为$0,0,-4$，不符。故$a=1$。 步骤2：求可逆变换，先化标准形再规范形。由特征向量得变换矩阵。 **难度**：★★★★☆
📋 详细解题步骤
暂无解题步骤
📷 拍照上传批改
拍照上传批改功能已预留入口，后续接入图片上传、OCR识别与AI批改。