kaoyan1advanced 线性代数 第254题

二次型 $f$ 的矩阵为 $\boldsymbol{A} = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 0 \\ 1 & 0 & 2 \end{pmatrix}$，二次型 $g$ 的矩阵为 $\boldsymbol{B} = \begin{pmatrix} 1 & -1 & 0 \\ -1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & t \end{pmatrix}$。由于存在可逆线性变换 $\boldsymbol{x} = \boldsymbol{P}\boldsymbol{y}$ 将 $f$ 化为 $g$，故 $\boldsymbol{A}$ 与 $\boldsymbol{B}$ 合同，即存在可逆矩阵 $\boldsymbol{P}$ 使得 $\boldsymbol{P}^{\mathrm{T}}\boldsymbol{A}\boldsymbol{P} = \boldsymbol{B}$。

计算 $\boldsymbol{A}$ 的行列式：$\det(\boldsymbol{A}) = 1 \cdot (2 \cdot 2 - 0 \cdot 0) - 1 \cdot (1 \cdot 2 - 1 \cdot 0) + 1 \cdot (1 \cdot 0 - 1 \cdot 2) = 4 - 2 - 2 = 0$，且二阶顺序主子式 $\begin{vmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 2 \end{vmatrix} = 1 > 0$，故 $\boldsymbol{A}$ 的秩为 $2$。$\boldsymbol{B}$ 的秩：当 $t \neq 0$ 时，前两行成比例，秩为 $2$；当 $t = 0$ 时，秩为 $1$。由合同矩阵秩相等，得 $t \neq 0$。

计算 $\boldsymbol{A}$ 的特征多项式：$\det(\lambda \boldsymbol{I} - \boldsymbol{A}) = \begin{vmatrix} \lambda-1 & -1 & -1 \\ -1 & \lambda-2 & 0 \\ -1 & 0 & \lambda-2 \end{vmatrix} = \lambda(\lambda-2)(\lambda-3)$，特征值为 $0, 2, 3$，正惯性指数为 $2$。$\boldsymbol{B}$ 的特征多项式：$\det(\lambda \boldsymbol{I} - \boldsymbol{B}) = \begin{vmatrix} \lambda-1 & 1 & 0 \\ 1 & \lambda-1 & 0 \\ 0 & 0 & \lambda-t \end{vmatrix} = \lambda(\lambda-2)(\lambda-t)$，特征值为 $0, 2, t$。由合同矩阵正惯性指数相等，得 $t > 0$。进一步，$f$ 可配方为 $(x_1 + x_2 + x_3)^2 + (x_2 - x_3)^2$，$g$ 可配方为 $(y_1 - y_2)^2 + t y_3^2$，两者标准形均为 $z_1^2 + z_2^2$，故 $t = 1$。