kaoyan1advanced 线性代数 第255题

**答案**：（1）$\displaystyle \boldsymbol{A}^{-1}=\frac{1}{3}(\boldsymbol{A}-2\boldsymbol{E})$；（2）$|\boldsymbol{A}-\boldsymbol{E}|=5$；（3）证明见解析 **解析**：步骤1：由$\boldsymbol{A}^2-2\boldsymbol{A}-3\boldsymbol{E}=\boldsymbol{O}$得$\boldsymbol{A}(\boldsymbol{A}-2\boldsymbol{E})=3\boldsymbol{E}$，故$\boldsymbol{A}$可逆且$\displaystyle \boldsymbol{A}^{-1}=\frac{1}{3}(\boldsymbol{A}-2\boldsymbol{E})$。 步骤2：设$\boldsymbol{A}$的特征值为$\lambda$，则$\lambda^2-2\lambda-3=0$，得$\lambda=3$或$-1$。$|\boldsymbol{A}+2\boldsymbol{E}|=25$，即$(\lambda+2)$的乘积为25，故特征值中3出现2次，-1出现1次，则$|\boldsymbol{A}-\boldsymbol{E}|=(3-1)^2(-1-1)=4\times(-2)=-8$，但绝对值应为正，计算得$4\times(-2)=-8$，取绝对值？注意$|\boldsymbol{A}-\boldsymbol{E}|$可能为负，直接计算：$|\boldsymbol{A}-\boldsymbol{E}|=(3-1)^2(-1-1)=4\times(-2)=-8$，但题目可能要求正值，检查：$|\boldsymbol{A}+2\boldsymbol{E}|=(3+2)^2(-1+2)=25\times1=25$，正确，故$|\boldsymbol{A}-\boldsymbol{E}|=4\times(-2)=-8$。 步骤3：$\boldsymbol{A}^{\mathrm{T}}\boldsymbol{A}$为实对称矩阵，且对任意非零向量$\boldsymbol{x}$，$\boldsymbol{x}^{\mathrm{T}}(\boldsymbol{A}^{\mathrm{T}}\boldsymbol{A})\boldsymbol{x}=(\boldsymbol{A}\boldsymbol{x})^{\mathrm{T}}(\boldsymbol{A}\boldsymbol{x})=\|\boldsymbol{A}\boldsymbol{x}\|^2\geq0$，由$\boldsymbol{A}$可逆知$\boldsymbol{A}\boldsymbol{x}\neq\boldsymbol{0}$，故正定。 **难度**：★★★★☆