kaoyan1basic 概率论与数理统计 第212题
📝 题目
### 第212题 设 $P(x)$ 在 $(-\infty,+\infty)$ 内连续，且以 $T$ 为周期，则 $\int_{0}^{T} P(x) \mathrm{d} x=0$ 是方程 $\begin{equation*}$ $\displaystyle \frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{~d} x}+P(x) y=0 \tag{*}$ \end{equation*} 有解 $y=y(x) \not \equiv 0$ 且以 $T$ 为周期的 （A）必要非充分条件． （B）充分非必要条件． （C）充分且必要条件． （D）既不充分也不必要条件．
💡 答案解析
**答案**：C
**解析**： 步骤1：方程(*)是一阶齐次线性微分方程，其通解为 $$ y(x) = C e^{-\int P(x) \, \mathrm{d}x}. $$ 设 $ F(x) = \int_0^x P(t) \, \mathrm{d}t $，则通解可写为 $$ y(x) = C e^{-F(x)}. $$
步骤2：若存在非零解 $ y(x) \not\equiv 0 $ 且以 $ T $ 为周期，则 $$ y(x+T) = C e^{-F(x+T)} = C e^{-F(x)} = y(x), $$ 即 $$ e^{-F(x+T) + F(x)} = 1 \quad \Rightarrow \quad F(x+T) - F(x) = \int_x^{x+T} P(t) \, \mathrm{d}t = 0. $$ 特别取 $ x=0 $，得 $$ \int_0^T P(t) \, \mathrm{d}t = 0. $$ 故条件是必要的。
步骤3：反之，若 $\int_0^T P(x) \, \mathrm{d}x = 0$，则对任意 $ x $， $$ \int_x^{x+T} P(t) \, \mathrm{d}t = \int_0^T P(t) \, \mathrm{d}t = 0, $$ 从而 $ F(x+T) = F(x) $，于是 $ e^{-F(x)} $ 以 $ T $ 为周期。取 $ C \neq 0 $，则 $ y(x) = C e^{-F(x)} $ 是非零周期解。故条件也是充分的。
因此，该条件是充分且必要条件。
**难度**：★★☆☆☆