概率论与数理统计
212
📝 有解析
第212题
### 第212题 设 $P(x)$ 在 $(-\infty,+\infty)$ 内连续，且以 $T$ 为周期，则 $\int_{0}^{T} P(x) \mathrm{d} x=0$ 是方程 $\begin{equation*}$ $\displaystyle \frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{~d} x}+P(x) y=0 \tag{*}$ \end{equation*} 有解 $y=y(x) \not \equiv 0$ 且以 $T$ 为周期的 （A）必要非充分条件． （B）充分非必要条件． （C）充分且必要条件． （D）既不充分也不必要条件．
216
📝 有解析
第216题
### 第216题 设 $L$ 是连接两点 $A(0,1)$ 与 $B(1,0)$ 的一条凸弧，$P(x$ ， $y)$ 是 $L$ 上的任意一点．已知凸弧 $L$ 与弦 $A P$ 围成的平面图形的面积等于 $x^{4}$ ，则 $L$ 的方程是 （A） $1-3 x+4 x^{3}$ ． （B） $1-4 x+3 x^{3}$ ． （C） $1+3 x-4 x^{3}$ ． （D） $1+4 x-3 x^{3}$ ． 答题区
647
📝 有解析
第647题
### 第647题 设 $L$ 是以 $A(1,0), B(0,1), C(-1,0), D(0,-1)$ 为顶点的正方形边界，则 $\displaystyle \oint_{L} \frac{x+y+1}{|x|+|y|} \mathrm{d} s$ 等于 （A） $4 \sqrt{2}$ ． （B） 0 ． （C） $2 \sqrt{2}$ ． （D） 4 ． ## －纠错笔记
613
📝 有解析
第613题
### 第613题 设 $\Gamma$ 为质量均匀分布的半圆 $y=\sqrt{1-x^{2}}$ ，线密度为 $\rho$ ，则 $\Gamma$ 对 $x$ 轴的转动惯量 $I_{x}=$ $\_\_\_\_$。 ◯纠错笔记614 设 $f(x, y, z)=\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}}$ ，则 $\left.\operatorname{div}(\operatorname{grad} f)\right|_{(1,-2,2)}=$ $\_\_\_\_$ ．
1
📝 有解析
第1题
### 【基础篇】第1题（选择题） 1．对任意事件 $A, B$ ，下列结论正确的是（ ）。 （A）$P(A) P(B) \geqslant P(A \cup B) P(A B)$ （B）$P(A)+P(B) \leqslant 2 P(A B)$ （C）$P(A)+P(A B) \geqslant P(A \cup B)$ （D）$P(A)+P(B) \leqslant P(A \cup B) P(A B)$
2
📝 有解析
第2题
### 【基础篇】第2题（选择题） 2．对于任意事件 $A$ ，＂$P(A)=P(\bar{A})$＂是＂$\displaystyle P(A)=\frac{1}{4}+[P(A)]^{2}$＂的 ． （A）充分非必要条件 （B）必要非充分条件 （C）充分必要条件 （D）既非充分又非必要条件
3
📝 有解析
第3题
### 【基础篇】第3题（选择题） 3．一平面质点从原点出发，每次走一个单位，只有向上、向右两种走法，且向上走的概率为 $p(0
4
📝 有解析
第4题
### 【基础篇】第4题（选择题） 4．甲、乙两个篮球队进行比赛，假设有三种可能的结局：甲胜，乙胜与平局．考虑事件 $A=$ 亿胜而乙负 $\}$ ，则 $\bar{A}=$ 。 （A）$B_{1}=\{$ 甲负而乙胜 $\}$ （B）$B_{2}=\{$ 平局 $\}$ （C）$B_{3}=\{$ 甲胜或平局 $\}$ （D）$B_{4}=\{$ 乙胜或平局 $\}$
5
📝 有解析
第5题
### 【基础篇】第5题（填空题） 5．设事件 $A, B$ 满足 $\displaystyle P(A \mid B)=P(B \mid A)=\frac{1}{3}, P(A-B)=\frac{1}{6}$ ，则 $P(\bar{A} \bar{B})=$ $\_\_\_\_$ ．
6
📝 有解析
第6题
### 【基础篇】第6题（选择题） 6．设 $A, B$ 为随机事件， $0
7
📝 有解析
第7题
### 【基础篇】第7题（选择题） 7．对于任意事件 $A, B, C$ ，若 $\overline{A+B} \supset C$ ，则 ． （A） $\bar{A}+\bar{B} \supset \bar{C}$ （B） $\bar{A} \bar{B} \supset \bar{C}$ （C）$A+B \subset \bar{C}$ （D）$A B \subset C$
8
📝 有解析
第8题
### 【基础篇】第8题（填空题） 8．从数 $1,2,3,4$ 中有放回地取两次，每次取一个数，得到的两个数为 $X_{1}, X_{2}$ ，记 $X= \min \left\{X_{1}, X_{2}\right\}$ ，则 $P\{X=2\}=$ $\_\_\_\_$。
9
📝 有解析
第9题
### 【基础篇】第9题（选择题） 9．设口能中有 10 个球，其中 6 个红球， 4 个白球，每次不放回地从中任取一个，取两次，若取出的两个㻌中有 1 个是白球，则两个都是白球的概客为 ． （A）$\displaystyle \frac{1}{3}$ （B）$\displaystyle \frac{1}{5}$ （C）$\displaystyle \frac{1}{4}$ （D）$\displaystyle \frac{1}{6}$
10
📝 有解析
第10题
### 【基础篇】第10题（选择题） 10．设 $\displaystyle P[A \mid(A \cup B C)]=\frac{1}{2}, ~ P(B)=P(C)=\frac{1}{2}$ ，其中 $A, B$ 互不相容，$B, C$ 相互独立，则 $P(A)=$ ． （A）$\displaystyle \frac{1}{4}$ （B）$\displaystyle \frac{3}{4}$ （C）$\displaystyle \frac{1}{2}$ （D） 1
11
📝 有解析
第11题
### 【基础篇】第11题（填空题） 11．设 $A, B, C$ 是 3 个随机事件，其中 $A$ 与 $B$ 相互独立，$A$ 与 $C$ 互不相容，$\displaystyle P(A)=\frac{1}{2}, P(B)=\frac{1}{3}$ ， $\displaystyle P(C)=\frac{1}{4}, P(B \mid C)=\frac{1}{8}$ ，则 $P(C \mid A \cup B)=$ $\_\_\_\_$ ．
12
📝 有解析
第12题
### 【基础篇】第12题（填空题） 12．设事件 $A$ 和 $B$ 互不相容， $\bar{A}$ 和 $\bar{B}$ 也互不相容，则 $A$ 和 $B$ 为 $\_\_\_\_$。
13
📝 有解析
第13题
### 【基础篇】第13题（填空题） 13．设 $A$ 和 $B$ 是概梁不等于 0 和 1 的任意两个事件，且满足 $P(B \mid A)+P(\bar{B} \mid \bar{A})=1$ ，则事件 $A$和 $B$ —定 $\_\_\_\_$ ．
## 第1章 随机事件和概率
1
📝 有解析
第1题
### 【强化篇】第1题（选择题） 1．设 $A, B$ 为随机事件，且 $0P(A)$ ，则 $P(\bar{A} \mid \bar{B})>P(\bar{A})$ （B）若 $P(A \mid B)=P(A)$ ，则 $P(A \mid \bar{B})=P(A)$ （C）若 $P(A \mid B)>P(A \mid \bar{B})$ ，则 $P(A \mid B)>P(A)$ （D）若 $P(A \mid A \cup B)>P(\bar{A} \mid A \cup B)$ ，则 $P(A)>P(B)$
2
📝 有解析
第2题
### 【强化篇】第2题（选择题） 2．设随机事件 $A, B$ 满足 $0P(A) P(B)$ 的充要条件是 （ ）． （A）$P(A \bar{B})>P(A) P(\bar{B})$ （B）$P(\bar{A} \bar{B})>P(\bar{A}) P(\bar{B})$ （C）$P(B \mid \bar{A})>P(B \mid A)$ （D）$P(A \mid \bar{B})>P(A \mid B)$
3
📝 有解析
第3题
### 【强化篇】第3题（选择题） 3．对于下列命题： （1）若事件 $A, B$ 相互独立，且 $B, C$ 相互独立，则 $A, C$ 相互独立； （2）若事件 $A, B$ 相互独立，且 $C \subset A, D \subset B$ ，则 $C, D$ 相互独立．说法正确的是（ ）． （A）（1）正确，（2）不正确 （B）（2）正确，（1）不正确 （C）（1）（2）都正确 （D）（1）（2）都不正确
4
📝 有解析
第4题
### 【强化篇】第4题（填空题） 4．设有两批数量相同的零件，已知有一批产品全部合格，另一批产品有 $25 \%$ 不合格，从这两批产品中任取 1 只，经检验是合格品，放回原处，并从原所在批次中再取 1 只，则这只产品是不合格品的概率为 $\_\_\_\_$。
5
📝 有解析
第5题
### 【强化篇】第5题（解答题） 5．设 $X, Y$ 为随机变量，且 $\displaystyle P\{X \geqslant 0, Y \geqslant 0\}=\frac{3}{7}, P\{X \geqslant 0\}=P\{Y \geqslant 0\}=\frac{4}{7}$ ，求下列事件的概率：（1）$A=\{\max \{X, Y\} \geqslant 0\}$ ；（2）$B=\{\max \{X, Y\} \geqslant 0, \min \{X, Y\}<0\}$ ．
## 第2章 一维随机变量及其分布
1
📝 有解析
第1题
### 【基础篇】第1题（填空题） 1．设 $X$ 是连续型随机变量，$C$ 是常数，则随机变量 $Y=X+C$ 的分布函数间断点个数为 $\_\_\_\_$。
1
📝 有解析
第1题
### 【强化篇】第1题（选择题） 1．设 $X$ 是随机变量，$s, \iota$ 是正数，$m, n$ 是正整数． （1）若 $X \sim G(p)$ ，则 $P\{X>m+n \mid X>m\}$ 与 $m$ 无关； （2）若 $\displaystyle X \sim P\{X=k\}=\frac{1}{k(k+1)}, k=1,2, \cdots$ ，则 $P\{X \geqslant 2 n \mid X \geqslant n\}$ 与 $n$ 无关； （3）若 $X \sim E(\lambda)$ ，则 $P\{X>s+t \mid X>s\}$ 与 $s$ 无关； （4）若 $\displaystyle X \sim f(x)=\left\{\begin{array}{ll}\frac{1}{x^{2}}, & x>1, \\ 0, & \text { 其他，}\end{array}\right.$ 则当 $t>1$ 时，$P\{X \geqslant 2 t \mid X \geqslant t\}$ 与 $\iota$ 无关．上述结论中正确的个数为 ． （A） 1 （B） 2 （C） 3 （D） 4
2
📝 有解析
第2题
### 【基础篇】第2题（选择题） 2．设随机变量 $\displaystyle X \sim B\left(n, \frac{1}{3}\right), Y \sim B\left(2 n, \frac{1}{3}\right)$ ，若 $\displaystyle P\{X \geqslant 1\}=\frac{5}{9}$ ，则 $P\{Y \geqslant 1\}=()$ ． （A）$\displaystyle \frac{5}{27}$ （B）$\displaystyle \frac{16}{81}$ （C）$\displaystyle \frac{64}{81}$ （D）$\displaystyle \frac{65}{81}$
2
📝 有解析
第2题
### 【强化篇】第2题（选择题） 2．设 $X$ 服从参数为 $\lambda(\lambda>0)$ 的泊松分布，$p_{1}, p_{2}, p_{3}$ 分别是 $X$ 取整数、偶数与奇数的概丰，则（ ． （A）$p_{1}=p_{2}=p_{3}$ （B）$p_{1}=p_{2}>p_{3}$ （C）$p_{1}>p_{2}>p_{3}$ （D）$p_{1}>p_{2}=p_{3}$
3
📝 有解析
第3题
### 【基础篇】第3题（选择题） 3．设 $X \sim N(0,1), Y=X+|X|$ ，则 $P\{Y>1\}=(\quad)$ 。 （A）$\displaystyle \Phi\left(\frac{1}{2}\right)$ （B） $\displaystyle 1-\Phi\left(\frac{1}{2}\right)$ （C）$\Phi(1)$ （D） $1-\Phi(1)$
3
📝 有解析
第3题
### 【强化篇】第3题（选择题） 3．设随机变量 $X$ 的概率密度 $f(x) \neq 1(x \in \mathbf{R})$ ，则 $X$ 不可能服从 ． （A）$N(1,1)$ （B）$N(0,2)$ （C）$E(2)$ （D）$U(-1,1)$
4
📝 有解析
第4题
### 【基础篇】第4题（选择题） 4．随机试验 $E$ 有三种两两不相容的结果 $A_{1}, A_{2}, A_{3}$ ，且三种结果发生的概率均为 $\displaystyle \frac{1}{3}$ 。将试验 $E$ 独立重复做 2 次，$X$ 表示 2 次试验中结果 $A_{1}$ 发生的次数，$Y$ 表示 2 次试验中结果 $A_{2}$ 发生的次数，则 $X+Y$ 服从（ ）。 （A）$\displaystyle B\left(2, \frac{1}{3}\right)$ （B）$\displaystyle B\left(2, \frac{2}{3}\right)$ （C）$\displaystyle B\left(4, \frac{1}{3}\right)$ （D）$\displaystyle B\left(4, \frac{2}{3}\right)$
4
📝 有解析
第4题
### 【强化篇】第4题（解答题） 4．设随机变量 $X$ 的绝对值不大于 $\displaystyle 1, P\{X=-1\}=\frac{1}{8}, P\{X=1\}=\frac{1}{4}$ ．在事件 $\{-1
5
📝 有解析
第5题
### 【基础篇】第5题（选择题） 5．设随机变量 $X, Y$ 分别服从正态分布 $N(\mu, 9), N(\mu, 4)$ ，记 $p_{1}=P\{X \leqslant \mu-3\}, p_{2}=P\{Y \geqslant \mu+4\}$ ，则 ）。 （A）对于任何实数 $\mu$ ，都有 $p_{1}=p_{2}$ （B）对于任何实数 $\mu$ ，都有 $p_{1}p_{2}$ （D）对于 $\mu$ 的个别值，有 $p_{1}=p_{2}$
6
📝 有解析
第6题
### 【基础篇】第6题（选择题） 6．设随机变量 $X$ 服从正态分布，其概率密度 $f(x)$ 在 $x=1$ 处有驻点，且 $f(1)=1$ ，则 $X$ 服从分布（ ）。 （A）$N(1,1)$ （B）$\displaystyle N\left(1, \frac{1}{2 \pi}\right)$ （C）$\displaystyle N\left(1, \frac{1}{\sqrt{2 \pi}}\right)$ （D）$N(0,1)$
7
📝 有解析
第7题
### 【基础篇】第7题（选择题） 7．设随机变量 $X$ 服从 $(0,1)$ 上的均匀分布，则 $Y=-\ln X$ 服从（ ）。 （A）几何分布 （B）标准正态分布 （C）$t$ 分布 （D）指数分布
8
📝 有解析
第8题
### 【基础篇】第8题（选择题） 8．设随机变量 $X$ 服从正态分布 $N(1,2)$ ，其分布函数和概率密度分别记作 $F(x)$ 和 $f(x)$ ，则下列各选项的性质中错误的是 ． （A）$f(x)$ 的曲线关于直线 $x=1$ 对称 （B）$F(x)$ 是 $f(x)$ 在 $(-\infty, x)$ 上的积分 （C）$F(x)$ 在点 $x=0$ 处的值等于 0.5 （D）概率密度 $f(x)$ 的最大值等于 $\displaystyle \frac{1}{2 \sqrt{\pi}}$
9
📝 有解析
第9题
### 【基础篇】第9题（填空题） 9．设 $\displaystyle X \sim f_{X}(x)=\frac{1}{\pi\left(1+x^{2}\right)},-\infty
10
📝 有解析
第10题
### 【基础篇】第10题（解答题） 10．设某种元件的使用寿命 $T$ 的分布函数为
$$ F(t)= \begin{cases}1-\mathrm{e}^{-\left(\frac{t}{\theta}\right)^{m}}, & \iota \geqslant 0, \\ 0, & \text { 其他, }\end{cases} $$
其中 $\theta, m$ 为大于零的参数．求概率 $P\{T>t\}$ 与 $P\{T>s+t \mid T>s\}$ ，其中 $s>0, t>0$ ．
11
📝 有解析
第11题
### 【基础篇】第11题（解答题） 11．已知随机变量 $X$ 的概率密度为 $f(x)=\left\{\begin{array}{ll}|x|, & |x| \leqslant 1, \\ 0, & \text { 其他．}\end{array}\right.$ 求 $Y=X^{2}+1$ 的概率密度 $f_{Y}(y)$ 。
## 第3章 多维随机变量及其分布
1
📝 有解析
第1题
### 【基础篇】第1题（选择题） 1．设随机变量 $X$ 和 $Y$ 相互独立且服从分布：
$$ $\left(\begin{array}{cc}$ -1 & 1 \\ q & p $\end{array}\right)(p+q=1)$ $$
则下列随机变量服从二项分布的是（）。 （A）$X+Y$ （B）$\displaystyle \frac{X+Y}{2}+1$ （C）$X-Y$ （D）$\displaystyle \frac{X-Y}{2}-1$
2
📝 有解析
第2题
### 【基础篇】第2题（选择题） 2．设随机变量 $X$ 与 $Y$ 相互独立，且 $\displaystyle X \sim B\left(1, \frac{1}{2}\right), Y \sim N(0,1)$ ，则 $P\{X Y \leqslant 0\}=(\quad)$ ． （A） 0 （B）$\displaystyle \frac{1}{4}$ （C）$\displaystyle \frac{1}{2}$ （D）$\displaystyle \frac{3}{4}$
3
📝 有解析
第3题
### 【基础篇】第3题（选择题） 3．设随机变量 $X$ 与 $Y$ 相互独立，且 $X$ 服从二项分布 $\displaystyle B\left(1, \frac{1}{2}\right), Y$ 服从指数分布 $E(1)$ ，则 $P\{X+Y \geqslant 1\}=(\quad)$ ． （A） $1+\mathrm{e}^{-1}$ （B） $1-e^{-1}$ （C）$\displaystyle \frac{1}{2}\left(1+\mathrm{e}^{-1}\right)$ （D）$\displaystyle \frac{1}{2}\left(1-e^{-1}\right)$
4
📝 有解析
第4题
### 【基础篇】第4题（填空题） 4．设随机变量 $X$ 服从区间 $[-3,2]$ 上的均匀分布，令 $Y=\left\{\begin{array}{ll}-1, & X \leqslant-1, \\ 1, & X>-1,\end{array} Z=\left\{\begin{array}{ll}-1, & X \leqslant 1, \\ 1, & X>1,\end{array}\right.\right.$ 则 $P\{Y+Z=0\}=$ $\_\_\_\_$。
5
📝 有解析
第5题
### 【基础篇】第5题（填空题） 5．设两个相互独立的随机变量 $X$ 和 $Y$ 均服从二项分布 $\displaystyle B\left(1, \frac{1}{2}\right)$ ，则 $P\{X \geqslant Y\}=$ $\_\_\_\_$ ．
6
📝 有解析
第6题
### 【基础篇】第6题（填空题） 6．设离散型随机变量 $X$ 和 $Y$ 独立同分布：$P\left\{X=x_{k}\right\}=P\left\{Y=x_{k}\right\}=p_{k}, k=1,2, \cdots$ ，则 $P\{X=Y\}=$ $\_\_\_\_$。
7
📝 有解析
第7题
### 【基础篇】第7题（选择题） 7．设随机变量 $X$ 与 $Y$ 相互独立，且均服从正态分布 $\displaystyle N\left(0, \frac{1}{2}\right)$ ．记随机变量 $Z=|X-Y|$ 的概率密度为 $f(z)$ ，则（ ）。 （A）$\displaystyle f(z)=\frac{1}{\sqrt{2 \pi}} \mathrm{e}^{-\frac{z^{2}}{2}},-\infty0, \\ 0, & z \leqslant 0\end{cases}$ （D）$\displaystyle f(z)= \begin{cases}\sqrt{\frac{2}{\pi}} \mathrm{e}^{-\frac{2}{2}}, & x>0, \\ 0, & z \leqslant 0\end{cases}$
8
📝 有解析
第8题
### 【基础篇】第8题（解答题） 8．设随机变量 $X$ 在区间 $(a, b)$ 上随机取值，当观察到 $X=x(a
9
📝 有解析
第9题
### 【基础篇】第9题（解答题） 9．某系统由两个相互独立工作的元件串联而成，只要有一个元件不工作，系统就不工作，设第 $i$个元件的工作寿命为 $X_{i}$ ，已知 $X_{i} \sim E\left(\lambda_{i}\right), \lambda_{i}>0, i=1,2$ ． （1）求该系统的工作寿命 $X$ 的概率密度 $f(x)$ ； （2）证明：对任意的 $t, s>0$ ，有 $P\{X>t+s \mid X>t\}=P\{X>s\}$ ．
10
📝 有解析
第10题
### 【基础篇】第10题（解答题） 10．已知二维随机变量 $(X, Y)$ 在以点 $(0,0),(1,-1),(1,1)$ 为顶点的三角形区域上服从均匀分布． （1）求边缘概率密度 $f_{X}(x), f_{Y}(y)$ 及条件概率密度 $f_{X \mid Y}(x \mid y), f_{Y \mid X}(y \mid x)$ ，并判断 $X$ 与 $Y$ 是否相互独立； （2）计算概率 $\displaystyle P\left\{\left.X>\frac{1}{2} \right\rvert\, Y>0\right\}, P\left\{\left.X>\frac{1}{2} \right\rvert\, Y=\frac{1}{4}\right\}$ ．
11
📝 有解析
第11题
### 【基础篇】第11题（解答题） 11．已知二维随机变量 $(X, Y)$ 的概率密度为
$$ f(x, y)= \begin{cases}2 \mathrm{e}^{-(x+y)}, & 0
12
📝 有解析
第12题
### 【基础篇】第12题（解答题） 12．设二维随机变量 $(X, Y)$ 在矩形区域 $D=\{(x, y) \mid 0 \leqslant x \leqslant 2,0 \leqslant y \leqslant 1\}$ 上服从均匀分布，求 $Z=X Y$ 的概率密度．
13
📝 有解析
第13题
### 【基础篇】第13题（解答题） 13．设随机变量 $X$ 与 $Y$ 相互独立，且 $X$ 服从二项分布 $\displaystyle B\left(2, \frac{1}{2}\right), Y$ 的概率密度为 $f_{Y}(y)= \left\{\begin{array}{ll}4 y^{3}, & 0 \leqslant y \leqslant 1, \\ 0, & \text { 其他，}\end{array}\right.$ 记 $Z=X+Y$ ，求： （1）$\displaystyle P\left\{\left.Z \leqslant \frac{5}{2} \right\rvert\, X>1\right\}$ ； （2）$Z$ 的概率密度．
14
📝 有解析
第14题
### 【基础篇】第14题（解答题） 14．设随机变量 $X, Y$ 相互独立，且 $X$ 的概率密度为 $f_{X}(x)=\left\{\begin{array}{ll}1, & 00, \\ 0, & \text { 其他．}\end{cases}$ （1）求 $a$ 的值； （2）若 $Z=2 X+a Y$ ，求 $Z$ 的概率密度．
## 第3章 一维随机变量函数的分布
1
📝 有解析
第1题
### 【强化篇】第1题（选择题） 1．设 $X \sim E(1), Y=[X+1]$ ，其中 $[\bullet]$ 表示取整符号，则 $Y$ 服从（ ）。 （A）参数为 $\mathrm{e}^{-1}$ 的几何分布 （B）参数为 $1-\mathrm{e}^{-1}$ 的几何分布 （C）参数为 $\mathrm{e}^{-1}$ 的泊松分布 （D）参数为 $1-e^{-1}$ 的泊松分布
2
📝 有解析
第2题
### 【强化篇】第2题（填空题） 2．设 $X \sim U(0,1)$ ，则 $Y=X^{\ln X}$ 的概率密度 $f_{Y}(y)=$ $\_\_\_\_$ ．
3
📝 有解析
第3题
### 【强化篇】第3题（解答题） 3．假设随机变量 $X$ 服从参数为 $\lambda$ 的指数分布，$G(x)$ 是区间 $[0,1]$ 上的均匀分布函数，求随机变量 $Y=G(X)$ 的分布函数 $H(y)$ 。
4
📝 有解析
第4题
### 【强化篇】第4题（解答题） 4．将长度为 1 的铁丝沿其上任一点折成两段，较短的一段长度记为 $X$ ，并以这两段作为矩形的两条边，记矩形面积为 $Z$ ，求： （1）$X$ 的概率密度； （2）$E(Z)$ ．
## 第4章 随机变量的数字特征
1
📝 有解析
第1题
### 【基础篇】第1题（选择题） 1．设随机变量 $X \sim E(1)$ ，记 $Y=\max \{X, 1\}$ ，则 $E(Y)=(\quad)$ 。 （A） 1 （B） $1-\mathrm{e}^{-1}$ （C） $1+\mathrm{e}^{-1}$ （D） $\mathrm{e}^{-1}$
2
📝 有解析
第2题
### 【基础篇】第2题（选择题） 2．设随机变量 $X_{1}, X_{2}, X_{3}$ 的概率密度图像分别如图（a）～图（c）所示，则（ ）。
（a）
（b）
（c）
（A）$D\left(X_{1}\right)
3
📝 有解析
第3题
### 【基础篇】第3题（选择题） 3．设随机变量 $X$ 服从参数为 $p(0
4
📝 有解析
第4题
### 【基础篇】第4题（填空题） 4．设随机变量 $X$ 服从参数为 $\lambda=2$ 的泊松分布，则 $P\{X>D(X)\}=$ $\_\_\_\_$ ．
5
📝 有解析
第5题
### 【基础篇】第5题（填空题） 5．设随机变量 $X$ 的概率密度为 $f(x)=\left\{\begin{array}{ll}2 x, & 0E(X)\}=$ $\_\_\_\_$ ．
6
📝 有解析
第6题
### 【基础篇】第6题（填空题） 6．设随机变量 $X$ 服从参数为 $\lambda(\lambda>0)$ 的指数分布，则 $X$ 落在数学期望 $E(X)$ 和方差 $D(X)$ 之间的概率为 $\_\_\_\_$。
7
📝 有解析
第7题
### 【基础篇】第7题（解答题） 7．在 $(0,1)$ 线段上随机投掷两点，该两点的距离为 $X$ ，求： （1）$X$ 的分布函数 $F(x)$ 和概率密度 $f(x)$ ； （2）$X$ 的数学期望 $E(X)$ 。
8
📝 有解析
第8题
### 【基础篇】第8题（解答题） 8．已知随机变量 $X$ 的概率密度为 $f(x)=A \mathrm{e}^{x(B-x)}(-\infty
9
📝 有解析
第9题
### 【基础篇】第9题（选择题） 9．设 $X, Y$ 是两个相互独立且均服从正态分布 $\displaystyle N\left(0,\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right)^{2}\right)$ 的随机变量，则随机变量 $|X-Y|$的数学期望 $E(|X-Y|)=(\quad)$ 。 （A）$\displaystyle \frac{1}{\sqrt{3 \pi}}$ （B）$\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2 \pi}}$ （C）$\displaystyle \frac{2}{\sqrt{\pi}}$ （D）$\displaystyle \sqrt{\frac{2}{\pi}}$
10
📝 有解析
第10题
### 【基础篇】第10题（选择题） 10．设随机变量 $X$ 与 $Y$ 独立同分布，且都服从参数为 1 的指数分布．若
$$ Z= \begin{cases}2 X, & X \geqslant Y \\ Y-1, & X
11
📝 有解析
第11题
### 【基础篇】第11题（选择题） 11．随机试验 $E$ 有三种两两不相容的结果 $A_{1}, A_{2}, A_{3}$ ，且三种结果发生的概率均为 $\displaystyle \frac{1}{3}$ 。将试验 $E$独立重复做 2 次，$X$ 表示 2 次试验中结果 $A_{1}$ 发生的次数，$Y$ 表示 2 次试验中结果 $A_{2}$ 发生的次数，则 $X$ 与 $Y$ 的相关系数为 ）． （A）$\displaystyle -\frac{1}{2}$ （B）$\displaystyle -\frac{1}{3}$ （C）$\displaystyle \frac{1}{3}$ （D）$\displaystyle \frac{1}{2}$
12
📝 有解析
第12题
### 【基础篇】第12题（选择题） 12．设随机变量 $X$ 和 $Y$ 的方差存在，则 $D(X+Y)=D(X)+D(Y)$ 是 $X$ 和 $Y$ ． （A）不相关的充分非必要条件 （B）不相关的充分必要条件 （C）独立的充分非必要条件 （D）独立的充分必要条件
13
📝 有解析
第13题
### 【基础篇】第13题（选择题） 13．已知随机变量 $X \sim U(0,4)$ ，实数 $c \in[0,4]$ ，且 $X$ 与 $|X-c|$ 不相关，则 $c=$ ． （A） 1 （B） 2 （C） 3 （D） 4
14
📝 有解析
第14题
### 【基础篇】第14题（选择题） 14．设随机变量 $X, Y$ 独立同分布于 $\displaystyle \left(\begin{array}{cc}-1 & 1 \\ \frac{1}{2} & \frac{1}{2}\end{array}\right), Z_{1}=X Y, Z_{2}=\frac{X}{Y}$ ，则 ． （A）$X, Y, Z_{1}$ 相互独立 （B）$Y, Z_{1}, Z_{2}$ 相互独立 （C）$X, Z_{1}, Z_{2}$ 两两独立 （D）$X, Y, Z_{2}$ 不相互独立
15
📝 有解析
第15题
### 【基础篇】第15题（选择题） 15．对于任意随机变量 $X$ 和 $Y$ ，如果 $D(X+Y)=D(X-Y)$ ，则 ． （A）$X$ 和 $Y$ 相互独立 （B）$D(X Y)=D(X) D(Y)$ （C）$X$ 和 $Y$ 相关 （D）$E(X Y)=E(X) E(Y)$
16
📝 有解析
第16题
### 【基础篇】第16题（填空题） 16．设随机变量 $X, Y$ 均服从参数为 $\lambda$ 的泊松分布，且 $\displaystyle \rho_{X Y}=-\frac{1}{2}, U=2 X+Y$ ，则 $U$ 与 $X$ 的相关系数为 $\_\_\_\_$ ．
17
📝 有解析
第17题
### 【基础篇】第17题（解答题） 17．设随机变量 $X$ 和 $Y$ 相互独立且服从相同的分布，$X \sim\left(\begin{array}{ll}0 & 1 \\ p & q\end{array}\right), p+q=1,0
18
📝 有解析
第18题
### 【基础篇】第18题（解答题） 18．设随机变量 $X$ 与 $Y$ 相互独立，$X$ 的分布列为 $\left(\begin{array}{ccc}-1 & 0 & 1 \\ p & p & 1-2 p\end{array}\right), Y$ 服从参数为 1 的指数分布，令 $Z=X Y$ ，若 $Y$ 与 $Z$ 既不相关，也不独立，求： （1）$Z(Z \neq 0)$ 的概率密度； （2）$p$ 的值．
19
📝 有解析
第19题
### 【基础篇】第19题（解答题） 19．设随机变量 $X$ 利 $Y$ 的联合概率分布为
| $X$ | -1 | 0 | 1 | | :---: | :---: | :---: | :---: | | 0 | 0.07 | 0.18 | 0.15 | | 1 | 0.08 | 0.32 | 0.2 |
（1）求 $X$ 和 $Y$ 的相关系数 $\rho$ ； （2）求 $X^{2}$ 和 $Y^{2}$ 的协方差 $\operatorname{Cov}\left(X^{2}, Y^{2}\right)$ ； （3）问 $X$ 和 $Y$ 以及 $X^{2}$ 和 $Y^{2}$ 是否相关？是否独立？
## 第4章 多维随机变量及其分布
1
📝 有解析
第1题
### 【强化篇】第1题（选择题） 1．设 $X, Y$ 独立同分布，$\displaystyle P\{X=k\}=\frac{1}{a^{k}}, k=1,2, \cdots$ ，则 $P\{X>Y\}=(\quad)$ ． （A）$\displaystyle \frac{1}{2}$ （B）$\displaystyle \frac{1}{2 a}$ （C）$\displaystyle \frac{1}{3}$ （D）$\displaystyle \frac{1}{3 a}$
2
📝 有解析
第2题
### 【强化篇】第2题（选择题） 2．设随机变量 $X, Y$ 相互独立，且 $\displaystyle X \sim U(-2,4), Y \sim\left(\begin{array}{cc}-2 & 2 \\ \frac{3}{4} & \frac{1}{4}\end{array}\right)$ ，则 $P\{X Y>2\}=(\quad)$ ． （A）$\displaystyle \frac{1}{6}$ （B）$\displaystyle \frac{1}{4}$ （C）$\displaystyle \frac{1}{3}$ （D）$\displaystyle \frac{1}{2}$
3
📝 有解析
第3题
### 【强化篇】第3题（选择题） 3．设二维随机变量 $(X, Y)$ 的概率密度为 $\displaystyle f(x, y)=\left\{\begin{array}{ll}\frac{1}{4}, & -1 \leqslant x<1,0 \leqslant y<2, \\ 0, & \text { 其他，}\end{array}\right.$ 则二次型 $g\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right)=x_{1}^{2}+2 x_{2}^{2}+Y x_{3}^{2}+2 x_{1} x_{2}+2 X x_{1} x_{3}$ 正定的概率为（ ）． （A）$\displaystyle \frac{2}{3}$ （B）$\displaystyle \frac{1}{2}$ （C）$\displaystyle \frac{1}{3}$ （D）$\displaystyle \frac{1}{4}$
4
📝 有解析
第4题
### 【强化篇】第4题（填空题） 4．设 $X_{1}, X_{2}, \cdots, X_{n}$ 是来自总体 $X$ 的简单随机样本，$Y=\max _{2 \leqslant i \leqslant n}\left\{X_{i}\right\}$ ，已知 $X$ 的概率密度为 $f(x)=\left\{\begin{array}{ll}\mathrm{e}^{-x}, & x>0, \\ 0, & x \leqslant 0,\end{array}\right.$ 则 $P\left\{X_{1} Y-Y<0\right\}=$ $\_\_\_\_$。
5
📝 有解析
第5题
### 【强化篇】第5题（填空题） 5．设随机变量 $X$ 在 $[0,2]$ 上服从均匀分布，$Y$ 服从参数为 $\lambda=2$ 的指数分布，且 $X, Y$ 相互独立，则关于 $a$ 的方程 $a^{2}+X a+Y=0$ 有实根的概率为 $\_\_\_\_$ （答案用标准正态分布的分布函数 $\Phi(x)$ 表示）。
6
📝 有解析
第6题
### 【强化篇】第6题（解答题） 6．设二维正态随机变量 $(X, Y)$ 的概率密度为 $f(x, y)$ ，已知条件概率密度 $\displaystyle f_{X \mid Y}(x \mid y)= A \mathrm{e}^{-\frac{2}{3}\left(x-\frac{y}{2}\right)^{2}}$ 和 $\displaystyle f_{Y \mid X}(y \mid x)=B \mathrm{e}^{-\frac{2}{3}\left(y-\frac{x}{2}\right)^{2}}$ 。求： （1）常数 $A$ 和 $B$ ； （2）边缘概率密度 $f_{X}(x)$ 和 $f_{Y}(y)$ ； （3）$f(x, y)$ ．
## 第5章 大数定律与中心极限定理
1
📝 有解析
第1题
### 【基础篇】第1题（填空题） 1．设总体 $X$ 服从参数为 2 的指数分布，$X_{1}, X_{2}, \cdots, X_{n}, \cdots$ 为来自总体 $X$ 的简单随机样本，则 $\displaystyle Y_{n}=\frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} X_{i}^{2}$ 依概率收敛于 $\_\_\_\_$。
2
📝 有解析
第2题
### 【基础篇】第2题（填空题） 2．设 $X_{1}, X_{2}, \cdots, X_{n}, \cdots$ 是来自总体 $X$ 的简单随机样本，$X$ 服从 $[-\pi, \pi]$ 上的均匀分布，记 $Y_{k}= \cos \left(k X_{k}\right), k=1,2, \cdots, n$ ，则 $\displaystyle \frac{1}{n} \sum_{k=1}^{n} Y_{k}^{2}$ 依概率收敛于 $\_\_\_\_$ ．
3
📝 有解析
第3题
### 【基础篇】第3题（选择题） 3．设随机变量 $X_{1}, X_{2}, \cdots, X_{n}, \cdots$ 相互独立且均服从 $U[1,4], \Phi(x)$ 是标准正态分布的分布函数，则 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} P\left\{\frac{2 \sum_{i=1}^{n} X_{i}-5 n}{\sqrt{n}} \leqslant x\right\}=$ ． （A）$\Phi(x)$ （B）$\Phi(\sqrt{3} x)$ （C）$\displaystyle \Phi\left(\frac{x}{\sqrt{3}}\right)$ （D）$\displaystyle \Phi\left(\frac{2 x}{\sqrt{3}}\right)$
4
📝 有解析
第4题
### 【基础篇】第4题（填空题） 4．设随机变量 $X_{1}, X_{2}, \cdots, X_{2 n}, \cdots$ 相互独立，且均服从二项分布 $\displaystyle B\left(1, \frac{1}{2}\right)$ ，若根据中心极限定理，有
$$ $\lim _{n \rightarrow \infty} P\left\{a \sum_{i=1}^{n}\left(X_{2 i}-X_{2 i-1}\right) \leqslant \sqrt{n} x\right\}=\Phi(x),$ $$
其中 $\Phi(x)$ 为标准正态分布函数，则 $a=$ $\_\_\_\_$。
5
📝 有解析
第5题
### 【基础篇】第5题（填空题） 5．某保险公司接受了 10000 辆汽车的保险，每辆汽车每年的保费为 1.2 万元。若汽车丢失，则车主获得赔偿 100 万元。设汽车的丢失率为 0.006 ，对于此项业务，利用中心极限定理，则保险公司一年所获利润不少于 6000 万元的概率为 $\_\_\_\_$。
6
📝 有解析
第6题
### 【基础篇】第6题（填空题） 6．设 $X_{1}, X_{2}, \cdots, X_{n}(n>2)$ 是来自总体 $X \sim N(0,1)$ 的简单随机样本，由切比雪夫不等式得 $P\left\{0<\sum_{i=1}^{n} X_{i}^{2}<2 n\right\}$ 不小于 $\_\_\_\_$ ．
## 第5章 多维随机变量函数的分布
1
📝 有解析
第1题
### 【强化篇】第1题（选择题） 1．设 $X_{1}, X_{2}$ 是来白标准正态总体 $X$ 的简单随机样本，则 $\displaystyle Y=\frac{X_{1}}{X_{2}}$ 的概粱密度 $f_{Y}(y)=()$ ， （A）$\displaystyle \frac{1}{\pi\left(1+y^{2}\right)}$ （B）$\displaystyle \frac{1}{\pi(1+y)}$ （C）$\displaystyle \frac{1}{1+y^{y^{2}}}$ （D）$\displaystyle \frac{1}{\pi}$
2
📝 有解析
第2题
### 【强化篇】第2题（选择题） 2．设 $X_{1}, X_{2}$ 相互独立、 $\displaystyle X_{1} \sim\left(\begin{array}{cc}1 & 0 \\ \frac{1}{2} & \frac{1}{2}\end{array}\right), X_{2} \sim N(0,1), Y=2 X_{1} X_{2}-X_{2}$ ，则 $Y$ 的分布函数为（ ）。 （A）］$-\Phi\left(2 y^{\prime}\right)$ （B） $1-\Phi(y)$ （C）$\Phi(2 y)$ （D）$\Phi(y)$
3
📝 有解析
第3题
### 【强化篇】第3题（选择题） 3．设 $X \circ Y$ 独立同分布于参数为 $\lambda$ 的指数分布，令 $Z=\max \{X, Y\}$ ，则与 $Z$ 同分布的是（）。 （A）$\displaystyle \frac{X+Y}{2}$ （B）$\displaystyle \frac{2 X+Y}{2}$ （C）$\displaystyle \frac{2 X+Y}{3}$ （D）$Y$
4
📝 有解析
第4题
### 【强化篇】第4题（选择题） 4．设随机变量 $X, Y$ 独立同分布于 $E(\lambda)$ ，其中 $\lambda>0, F(x)$ 为 $X$ 的分布函数，则与 $F(X)$ 同分布的是（ ）。 （A）$\displaystyle \frac{2 X}{X+Y}$ （B）$\displaystyle \frac{X}{Y}$ （C）$\displaystyle \frac{X+Y}{2 X}$ （D）$\displaystyle \frac{Y}{X+Y}$
5
📝 有解析
第5题
### 【强化篇】第5题（解答题） 5．设 $X \sim f_{X}(x)=\left\{\begin{array}{ll}2 x, & 0
6
📝 有解析
第6题
### 【强化篇】第6题（解答题） 6．设二维随机变量 $(X, Y)$ 在区域 $D=\left\{(x, y) \mid 0Y .\end{cases}$ （1）当出 $(X, Y)$ 的概率密度； （2）$U$ 与 $X$ 是否相互独立？说明理由； （3）求 $Z=U+X$ 的分布函数 $F_{Z}(z)$ 。
7
📝 有解析
第7题
### 【强化篇】第7题（解答题） 7．设 $X_{0}, X_{1}, X_{2}, \cdots, X_{0}$ 是来自总体 $X$ 的简单随机样本，$\displaystyle Y=\frac{1}{\max _{1 \leqslant i \leqslant n}\left\{X_{i}\right\}}$ ，已知 $X$ 的概寀密度为
$$ f(x)= \begin{cases}\mathrm{e}^{-x}, & x>0 \\ 0, & x \leqslant 0\end{cases} $$
（1）求 $Y^{\prime}$ 的分布两数； （2）求 $P\left(\lambda_{0}^{\prime} Y-\lambda_{0}^{\prime}-Y+1<0\right)$ ，
8
📝 有解析
第8题
### 【强化篇】第8题（解答题） 8．设二维随机变量 $(X, Y)$ 在区域 $D$ 上服从均匀分布，其中
$$ D=\{(x, y)| | x|+|y| \leqslant 1\} $$
令 $U=X+Y, V=X-Y$ ．求： （1）$U$ 与 $V$ 的概率密度 $f_{U}(u)$ 与 $f_{V}(v)$ ； （2）$U$ 与 $V$ 的协方差 $\operatorname{Cov}(U, V)$ 和相关系数 $\rho_{U V}$ ．
9
📝 有解析
第9题
### 【强化篇】第9题（解答题） 9．设二维随机变量 $(U, V)$ 在以点 $(-2,0),(2,0),(0,1),(0,-1)$ 为顶点的四边形区域 $D$ 上噉从均匀分布，令
$$ X=\left\{\begin{array}{ll} -1, & U \leqslant-1, \\ 1, & U>-1, $\displaystyle \end{array} Y= \begin{cases}-1, & V<\frac{1}{2} \\$ 1, & V>\frac{1}{2}\end{cases}\right. $$
（1）求 $(X, Y)$ 的分布律； （2）求 $X$ 和 $Y$ 的相关系数 $\rho_{X Y}$ ； （3）求 $V$ 的边缘概率密度．
10
📝 有解析
第10题
### 【强化篇】第10题（解答题） 10．设随机变量 $\displaystyle X \sim B\left(2, \frac{1}{2}\right)$ 和随机变量 $Y \sim N(0,1)$ ，且 $X$ 与 $Y$ 相互独立．令 $Z=(X-1) Y$ ，记 $(Y, Z)$ 的分布函数为 $F(y, z)$ ．求： （1）$Z$ 的分布函数 $F_{Z}(z)$ ； （2）$F(1,1)$ 的值，已知 $\displaystyle \int_{-\infty}^{1} \frac{1}{\sqrt{2 \pi}} \mathrm{e}^{-\frac{t^{2}}{2}} \mathrm{~d} t=0.8413$ ．
11
📝 有解析
第11题
### 【强化篇】第11题（解答题） 11．设 $X, Y$ 独立同分布于标准正态分布 $N(0,1)$ ，记 $Z= \begin{cases}X, & X Y>0, \\ 0, & X Y=0, \\ -X, & X Y<0 .\end{cases}$ （1）证明 $Z$ 服从标准正态分布； （2）$(Y, Z)$ 是否服从二维正态分布？说明理由．
## 第6章 数理统计
1
📝 有解析
第1题
### 【基础篇】第1题（选择题） 1．设 $X_{1}, X_{2}, \cdots, X_{10}$ 是来自正态总体 $X \sim N\left(0, \sigma^{2}\right)(\sigma>0)$ 的简单随机样本，$\displaystyle Y^{2}=\frac{1}{9} \sum_{i=2}^{10} X_{i}^{2}$ ，则 （ ）． （A）$X_{1}^{2} \sim \chi^{2}(1)$ （B）$Y^{2} \sim \chi^{2}$（9） （C）$\displaystyle \frac{X_{1}}{|Y|} \sim t(9)$ （D）$\displaystyle \frac{X_{1}^{2}}{Y^{2}} \sim F(9,1)$
2
📝 有解析
第2题
### 【基础篇】第2题（选择题） 2．设总体 $X$ 和 $Y$ 相互独立，且都服从正态分布 $N\left(0, \sigma^{2}\right), X_{1}, X_{2}, \cdots, X_{n}$ 和 $Y_{1}, Y_{2}, \cdots, Y_{n}$ 分别是来自总体 $X$ 和 $Y$ 且容量都为 $n$ 的两个简单随机样本，样本均值、样本方差分别为 $\bar{X}, S_{X}^{2}$ 和 $\bar{Y}, S_{Y}^{2}$ ，则（ ）。 （A） $\bar{X}-\bar{Y} \sim N\left(0, \sigma^{2}\right)$ （B）$S_{X}^{2}+S_{Y}^{2} \sim \chi^{2}(2 n-2)$ （C）$\displaystyle \frac{\bar{X}-\bar{Y}}{\sqrt{S_{X}^{2}+S_{Y}^{2}}} \sim t(2 n-2)$ （D）$\displaystyle \frac{S_{X}^{2}}{S_{Y}^{2}} \sim F(n-1, n-1)$
3
📝 有解析
第3题
### 【基础篇】第3题（选择题） 3．设随机变量 $X \sim N(0,1), Y \sim N(0,1)$ ，则（ ）。 （A）$X+Y$ 服从正态分布 （B）$X^{2}+Y^{2}$ 服从 $\chi^{2}$ 分布 （C）$X^{2} / Y^{2}$ 服从 $F$ 分布 （D）$X^{2}$ 和 $Y^{2}$ 服从 $\chi^{2}$ 分布
4
📝 有解析
第4题
### 【基础篇】第4题（选择题） 4．设 $n$ 为正整数，随机变量 $X \sim t(n), Y \sim F(1, n)$ ，常数 $c$ 满足 $\displaystyle P\{X>c\}=\frac{2}{5}$ ，则 $P\left\{Y \leqslant c^{2}\right\}=$ （ ）． （A）$\displaystyle \frac{1}{5}$ （B）$\displaystyle \frac{2}{5}$ （C）$\displaystyle \frac{3}{5}$ （D）$\displaystyle \frac{4}{5}$
5
📝 有解析
第5题
### 【基础篇】第5题（选择题） 5．设 $X_{1}, X_{2}, \cdots, X_{n}(n \geqslant 2)$ 为来自标准正态总体 $X$ 的简单随机样本，记 $\displaystyle \bar{X}=\frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} X_{i}, S^{2}= \frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^{n}\left(X_{i}-\bar{X}\right)^{2}, Y=\bar{X}-S$ ，则 $E\left(Y^{2}\right)=$ ． （A） $\displaystyle 1-\frac{1}{n}$ （B） $\displaystyle 1+\frac{1}{n}$ （C） $\displaystyle 1-\frac{1}{n-1}$ （D） $\displaystyle 1+\frac{1}{n-1}$
6
📝 有解析
第6题
### 【基础篇】第6题（选择题） 6．设总体 $X$ 的概率密度为 $\displaystyle f(x ; \sigma)=\left\{\begin{array}{ll}\frac{2 x}{\sigma} \mathrm{e}^{-\frac{x^{2}}{\sigma}}, & x>0, \\ 0, & x \leqslant 0,\end{array}\right.$ 其中 $\sigma$ 为大于零的未知参数，已知 $X_{1}$ ， $X_{2}, \cdots, X_{n}$ 是来自总体 $X$ 的简单随机样本，则 $\sigma$ 的最大似然估计量为 ． （A）$\displaystyle \hat{\sigma}=\frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^{n} X_{i}$ （B）$\displaystyle \hat{\sigma}=\frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^{n} X_{i}^{2}$ （C）$\displaystyle \hat{\sigma}=\frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} X_{i}$ （D）$\displaystyle \hat{\sigma}=\frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} \cdot X_{i}^{2}$
7
📝 有解析
第7题
### 【基础篇】第7题（填空题） 7．设某个试验有三种可能结果，其发生的概率分别为 $p_{1}=\lambda^{2}, p_{2}=(1-\lambda)^{2}, p_{3}=2 \lambda(1-\lambda)$ ，其
中参数 $\lambda$ 末知, $0<\lambda<1$ 。现做了 $n$ 次独立重复试验，观测到三种结果发生的次数分别为 $n_{1}, n_{2}$ ヵ 峸 $\left(n_{1}+n_{2}+n_{3}=n\right)$ 。则 $\lambda$ 的最大似然估计值为 $\_\_\_\_$。
8
📝 有解析
第8题
### 【基础篇】第8题（填空题） 8．设二维总体 $(X, Y)$ 的概率密度为 $\displaystyle f(x, y ; \lambda)= \begin{cases}\frac{1}{\lambda^{2}} \mathrm{e}^{-\frac{1}{\lambda}}, & x>0, y>0, \\ 0, & \text { 其他，为大于 } 0 \text { 的参整。 }\end{cases} \left(X_{1}, Y_{1}\right),\left(X_{2}, Y_{2}\right), \cdots,\left(X_{n}, Y_{n}\right)$ 为来自总体的简单随机样本，则 $\lambda$ 的最大似然估计量为 $\_\_\_\_$ ．
9
📝 有解析
第9题
### 【基础篇】第9题（填空题） 9．设总体 $X$ 的概察密度为
$$ f(x ; \theta)= \begin{cases}\mathrm{e}^{-(x-\theta)}, & x \geqslant \theta, \\ 0, & \text { 其他, }\end{cases} $$
$X_{1}, X_{2}, \cdots, X_{n}$ 是来自总体 $X$ 的简单随机样本，则未知参数 $\theta$ 的最大似然估计量 $\dot{\theta}=$ $\_\_\_\_$。
10
📝 有解析
第10题
### 【基础篇】第10题（解答题） 10．设总体 $X \sim U[\theta, \theta+1], X_{1}, X_{2}, \cdots, X_{n}$ 是来自总体 $X$ 的简单随机样本，求： （1）参数 $\theta$ 的矩估计量； （2）參数 $\theta$ 的最大似然估计量．
11
📝 有解析
第11题
### 【基础篇】第11题（解答题） 11．设 $X_{1}, X_{2}, \cdots, X_{n}$ 是取自总体 $X$ 的简单随机样本，$X$ 的概率密度为
$$ f(x)=\frac{1}{2 \lambda} \mathrm{e}^{-\frac{|x|}{\lambda}}, \quad-\infty0 $$
求：（1）$\lambda$ 的矩估计量； （2）$\lambda$ 的最大似然估计量．
12
📝 有解析
第12题
### 【基础篇】第12题（解答题） 12．设连续型总体 $X$ 的分布函数为 $F(x ; \theta)= \begin{cases}0, & x \leqslant 0, \\ x^{\sqrt{\theta}}, & 00, \\ 1, & x \geqslant 1,\end{cases} X_{1}, X_{2}, \cdots, X_{n}$ 为来自总体 $X$ 的简单随机样本．求 $\theta$ 的矩估计量与最大似然估计量．
13
📝 有解析
第13题
### 【基础篇】第13题（解答题） 13．设 $X_{1}, X_{2}, \cdots, X_{n}$ 是来自总体 $X$ 的简单随机样本，$X$ 的概率密度为 $\displaystyle f(x ; \theta)= \begin{cases}\frac{x}{\theta^{2}} \mathrm{e}^{\frac{x^{2}}{y^{2}}}, & x>0, \\ 0, & x \leqslant 0,\end{cases} \theta>0$ ．求 $\theta$ 的最大似然估计量．
14
📝 有解析
第14题
### 【基础篇】第14题（解答题） 14．设某元件的使用寿命 $T$ 的分布函数 $F(t)$ 满足微分方程 $\displaystyle F^{\prime}(t)+\frac{2 t}{\theta^{2}}[F(t)-1]=0, t \geqslant 0, \theta$ 为大于 0 的常数，$F(0)=0$ ，且该元件性能 $\displaystyle Q(\theta)=\theta^{2}\left(\frac{\ln \theta}{2}-\frac{3}{4}\right)+\theta$ 。任取 $n$ 个此种元件做寿命试验，润得值分别为 $l_{1}, l_{2}, \cdots, l_{n}$ 。 （1）求 $\theta$ 的最大似然估计值 $\hat{\theta}$ ； （2）求该元件性能 $Q$ 的最大似然估计值 $Q$ 。
15
📝 有解析
第15题
### 【基础篇】第15题（选择题） 15．设总体 $X$ 的数学期望 $E(X)=0$ ，方差 $D(X)=\sigma^{2}$ ，而 $X_{1}, X_{2}, \cdots, X_{n}(n>2)$ 是来自总体 $X$ 的简单随机样本， $\displaystyle \bar{X}-\frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} X_{1}, S^{2}=\frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^{n}\left(X_{1}-\bar{X}\right)^{2}$ ，则下列属于 $\sigma^{2}$ 的无佩估计量的是（ ）。 （A） $7 \bar{X}^{2}+S^{2}$ （B）$\displaystyle \frac{1}{2}\left(n \bar{X}^{2}+S^{2}\right)$ （C）$\displaystyle \frac{1}{3}\left(n \bar{X}^{2}+S^{2}\right)$ （D）$\displaystyle \frac{1}{4}\left(n \overline{X^{2}}+S^{2}\right)$
16
📝 有解析
第16题
### 【基础篇】第16题（选择题） 16．设 $\mu$ 是总体 $X$ 的数学期望，$\sigma$ 是总体 $X$ 的标准差，$X_{1}, X_{2}, \cdots, X_{n}$ 是来自总体 $X$ 的简单随机样
本，则总体方差 $\sigma^{2}$ 的无偏估计量是（ ）。 （A）$\displaystyle \frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^{n}\left(X_{i}-\mu\right)^{2}, \mu$ 末知 （B）$\displaystyle \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n}\left(X_{i}-\mu\right)^{2}, \mu$ 末知 （C）$\displaystyle \frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^{n}\left(X_{i}-\mu\right)^{2}, \mu$ 已知 （D）$\displaystyle \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n}\left(X_{i}-\mu\right)^{2}, \mu$ 已知
17
📝 有解析
第17题
### 【基础篇】第17题（选择题） 17．设 $\sigma$ 是总体 $X$ 的标准差，$X_{1}, X_{2}, \cdots, X_{n}$ 是来自总体 $X$ 的简单随机样本，则样本标准差 $S$ 是总体标准差 $\sigma$ 的（ ）。 （A）无偏估计量 （B）最大似然估计量 （C）相合估计量 （D）最小方差估计量
18
📝 有解析
第18题
### 【基础篇】第18题（填空题） 18．设 $X_{1}$ 是来自正态总体 $X \sim N\left(0, \sigma^{2}\right)(\sigma>0)$ 的一个简单随机样本，$x_{1}$ 为其样本值．则 $\sigma^{2}$ 的一个无偏估计量为 $\_\_\_\_$。
19
📝 有解析
第19题
### 【基础篇】第19题（解答题） 19．设总体 $X$ 的概率分布为
| $X$ | 0 | 1 | 2 | 3 | | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | | $P$ | $\theta^{3}$ | $3 \theta^{2}(1-\theta)$ | $3 \theta(1-\theta)^{2}$ | $(1-\theta)^{3}$ |
其中 $0<\theta<1, X_{1}, X_{2}, \cdots, X_{n}$ 为来自总体 $X$ 的简单随机样本。求 $\theta$ 的最大似然估计量，并判定它是否为 $\theta$ 的无偏估计量，说明理由。
20
📝 有解析
第20题
### 【基础篇】第20题（选择题） 20．设一批零件的长度服从正态分布 $N\left(\mu, \sigma^{2}\right)$ ，其中 $\sigma^{2}$ 已知，$\mu$ 未知．现从中随机抽取 $n$ 个零件，测得样本均值为 $\bar{x}$ ，则当置信度为 0.90 时，$\mu$ 大于 $\mu_{0}$ 的接受条件为（ ）． （A） $\displaystyle \bar{x}>\mu_{0}-\frac{\sigma}{\sqrt{n}} z_{0.10}$ （B） $\displaystyle \bar{x}>\mu_{0}+\frac{\sigma}{\sqrt{n}} z_{0.05}$ （C） $\displaystyle \bar{x}>\mu_{0}+\frac{\sigma}{\sqrt{n}} z_{0.10}$ （D） $\displaystyle \bar{x}>\mu_{0}-\frac{\sigma}{\sqrt{n}} z_{0.05}$
21
📝 有解析
第21题
### 【基础篇】第21题（选择题） 21．设 $X_{1}, X_{2}, \cdots, X_{n}$ 是来自总体 $X$ 的简单随机样本， $\bar{X}$ 为样本均值，$E(X)=\theta$ ．检验 $H_{0}: \theta=0$ ； $H_{1}: \theta \neq 0$ ，且拒绝域 $W_{1}=\{|\bar{X}|>1\}$ 和 $W_{2}=\{|\bar{X}|>2\}$ 分别对应显著性水平 $\alpha_{1}$ 和 $\alpha_{2}$ ，则 ． （A）$\alpha_{1}=\alpha_{2}$ （B）$\alpha_{1}>\alpha_{2}$ （C）$\alpha_{1}<\alpha_{2}$ （D）$\alpha_{1}$ 和 $\alpha_{2}$ 的大小关系不确定
22
📝 有解析
第22题
### 【基础篇】第22题（选择题） 22．设 $X_{1}, X_{2}$ 是来自正态总体 $N(\mu, 1)$ 的简单随机样本，并设原假设 $H_{0}: \mu=2$ ，备择假设 $H_{1}$ ： $\mu=4$ ，若拒绝域为 $\displaystyle W=\{\bar{X}>3\}, \bar{X}=\frac{1}{2} \sum_{i=1}^{2} X_{i}$ ，记 $\alpha, \beta$ 分别为犯第一类错误和第二类错误的概率，则 （ ）． （A）$\alpha=\beta=1-\Phi(\sqrt{2})$ （B）$\alpha=1-\Phi(\sqrt{2}), \beta=\Phi(\sqrt{2})$ （C）$\alpha=\Phi(\sqrt{2}), \beta=1-\Phi(\sqrt{2})$ （D）$\alpha=\beta=\Phi(\sqrt{2})$
23
📝 有解析
第23题
### 【基础篇】第23题（填空题） 23．设总体 $X \sim\left(\begin{array}{ccc}1 & 2 & 3 \\ \theta^{2} & 2 \theta(1-\theta) & (1-\theta)^{2}\end{array}\right)$ ，作检验 $H_{0}: \theta=0.1 ; H_{1}: \theta=0.9$ ．抽取 3 个样本，取拒绝域 $W$ 为 $\left\{X_{1}=1, X_{2}=1, X_{3}=1\right\}$ ，则犯第二类错误的概率为 $\_\_\_\_$。
24
📝 有解析
第24题
### 【基础篇】第24题（填空题） 24．假设无线电测距仪无系统误差，其测量的随机误差服从正态分布，已知随机测量的绝对误差不大于 20 米的概率为 0.95 ，则随机测量的标准差 $\sigma=$ $\_\_\_\_$ （保留两位小数）。
强化篇
## 第6章 数字特征
1
📝 有解析
第1题
### 【强化篇】第1题（选择题） 1．将 2 个红球和 1 个白球随机放人 3 个盒子中，每个盒子可放任意多个球，记 $X$ 为没有红球的盒子个数，则 $E(X)=(\quad)$ 。 （A）$\displaystyle \frac{17}{9}$ （B）$\displaystyle \frac{4}{9}$ （C）$\displaystyle \frac{3}{4}$ （D）$\displaystyle \frac{4}{3}$
2
📝 有解析
第2题
### 【强化篇】第2题（选择题） 2．设 $X$ 服从参数为 1 的泊松分布，则 $\displaystyle E\left(\frac{1}{X+1}\right)=(\quad)$ 。 （A）$\displaystyle \frac{1}{\mathrm{e}}$ （B） $\displaystyle 1-\frac{1}{\mathrm{e}}$ （C）$\displaystyle \frac{2}{\mathrm{e}}$ （D） $\displaystyle 1+\frac{1}{\mathrm{e}}$
3
📝 有解析
第3题
### 【强化篇】第3题（填空题） 3．设随机变量 $X, Y$ 相互独立，且 $X \sim N(0,2), Y \sim N(0,3)$ ，则 $D\left(X^{2}+Y^{2}\right)=$ $\_\_\_\_$。
4
📝 有解析
第4题
### 【强化篇】第4题（填空题） 4．假设某种试验只有成功与失败两种结果，并且每次试验的成功率都是 $p(0
5
📝 有解析
第5题
### 【强化篇】第5题（填空题） 5．设总体 $X$ 服从分布 $P\{X=k\}=p^{k}(1-p)^{1-k}, k=0,1,0
6
📝 有解析
第6题
### 【强化篇】第6题（填空题） 6．在区间 $[0,1]$ 上任取一点，将其分为两个区间，留下其中任一区间记其长度为 $X$ ，再从留下的区间上任取一点，将其分为两个区间，并取其中任一区间，记其长度为 $Y$ ，则 $E(Y)=$ $\_\_\_\_$。
7
📝 有解析
第7题
### 【强化篇】第7题（选择题） 7．设总体 $(X, Y)$ 服从 $N(0,0 ; 1,2 ; 1),\left(X_{1}, Y_{1}\right),\left(X_{2}, Y_{2}\right)$ 是来自总体 $(X, Y)$ 的简单随机样本， $\displaystyle \bar{X}=\frac{X_{1}+X_{2}}{2}, \bar{Y}=\frac{Y_{1}+Y_{2}}{2}$ ，则 $E\left[(\bar{X}-\bar{Y})^{2}\right]=(\quad)$ 。 （A）$\displaystyle \frac{3}{2}$ （B）$\displaystyle \frac{3}{2}-\sqrt{2}$ （C）$\displaystyle \frac{3}{2}-\frac{\sqrt{2}}{2}$ （D）$\displaystyle \frac{3}{2}+\frac{\sqrt{2}}{2}$
8
📝 有解析
第8题
### 【强化篇】第8题（填空题） 8．设 $\displaystyle (X, Y) \sim f(x, y)=\frac{1}{2 \sqrt{2} \pi} \mathrm{e}^{-\frac{x^{2}+2 y^{2}}{4}},-\infty
9
📝 有解析
第9题
### 【强化篇】第9题（填空题） 9．已知 $(X, Y)$ 服从 $N\left(0,0 ; \sigma^{2}, \sigma^{2} ; 0\right), \sigma>0$ ，若 $\displaystyle D(|X-Y|)=1-\frac{2}{\pi}$ ，则 $\sigma=$ $\_\_\_\_$ ．
10
📝 有解析
第10题
### 【强化篇】第10题（解答题） 10．设随机变量 $X$ 和 $Y$ 相互独立，已知 $X$ 服从二项分布 $\displaystyle B\left(1, \frac{1}{2}\right), Y$ 服从泊松分布 $\displaystyle P\left(\frac{1}{2}\right)$ ，记 $Z=X+Y$ ．求： （1）$Z$ 的分布律； （2）$E(Z), D(Z)$ ．
11
📝 有解析
第11题
### 【强化篇】第11题（解答题） 11．设随机变量 $\displaystyle X \sim B\left(1, \frac{1}{4}\right)$ ，随机变量 $\displaystyle Y \sim B\left(1, \frac{1}{6}\right)$ ，且 $\displaystyle \operatorname{Cov}(X, Y)=\frac{1}{24}$ ．求： （1）二维随机变量 $(X, Y)$ 的概率分布； （2）$X$ 和 $Y$ 的相关系数 $\rho_{X Y}$ ； （3）$P\{X Y=0\}$ 的值。
12
📝 有解析
第12题
### 【强化篇】第12题（解答题） 12．某人在超市里买了 10 节甲厂生产的电池，又买了 5 节乙厂生产的电池。这两种电池的寿命 （以小时计）分别服从参数为 $\displaystyle \frac{1}{20}$ 和 $\displaystyle \frac{1}{40}$ 的指数分布。他任取一节电池装在相机里。求； （1）此电池寿命 $X$ 的概率密度； （2）$E(X)$ ； （3）若用了 40 小时电池仍有电，还可以再用 20 小时以上的概率．
13
📝 有解析
第13题
### 【强化篇】第13题（填空题） 13．已知两只灯泡的寿命独立同分布于期望为 2 的指数分布．第一只灯泡先亮，若 1 小时内第一只灯泡坏掉，则在第 1 小时时第二只灯泡才亮；若 1 小时内第一只灯泡未坏掉，则在第一只灯泡坏掉时，立即点亮第二只灯泡。令 $T$ 为从点亮第一只灯泡直到第二只灯泡坏掉的时间，则 $E(T)=$ $\_\_\_\_$。
14
📝 有解析
第14题
### 【强化篇】第14题（解答题） 14．设随机变量 $X$ 的概率密度为 $f_{X}(x)=\left\{\begin{array}{ll}2 x, & 0
15
📝 有解析
第15题
### 【强化篇】第15题（选择题） 15．独立重复拋掷一枚均匀硬币两次，记
$$ X_{i}=\left\{\begin{array}{ll} 1, & \text { 出现正面, } \\ 0, & \text { 出现反面, } $\end{array} i=1,2,\right.$ $$
则 $X_{1}+X_{2}$ 与 $X_{1}-X_{2}$（ ）。 （A）独立，不相关 （B）不独立，不相关 （C）独立，相关 （D）不独立，相关
16
📝 有解析
第16题
### 【强化篇】第16题（选择题） 16．设随机变量 $X$ 和 $Y$ 在椭圆 $\displaystyle \frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}} \leqslant 1(a>0, b>0)$ 上服从均匀分布，则（ ）。 （A）$X$ 在区间 $[-a, a]$ 上均匀分布 （B）$X$ 和 $Y$ 必不相关 （C）$Y$ 在区间 $[-b, b]$ 上均匀分布 （D）$X$ 和 $Y$ 相互独立
17
📝 有解析
第17题
### 【强化篇】第17题（选择题） 17．设连续型随机变量 $X$ 与 $Y$ 独立同分布，且其分布函数 $F(x)$ 为严格单调增加函数，若 $E(X)$存在，且 $E(|X-Y|)=1$ ，则 $X$ 与 $F(X)$ 的协方差为 $\quad$ ）。 （A） 0 （B）$\displaystyle \frac{1}{4}$ （C）$\displaystyle \frac{1}{2}$ （D） 1
18
📝 有解析
第18题
### 【强化篇】第18题（选择题） 18．设随机变量 $X, Y$ 独立同分布于参数为 1 的指数分布，令 $Z=\max \{X, Y\}, W=\min \{X, Y\}$ ，则 $Z$ 与 $W$ 的相关系数为（ ）。 （A）$\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{2}$ （B）$\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{3}$ （C）$\displaystyle \frac{\sqrt{5}}{5}$ （D） 1
19
📝 有解析
第19题
### 【强化篇】第19题（填空题） 19．设总体 $X$ 的概率分布如下： $\_\_\_\_$
$$ X \sim\left(\begin{array}{ccc} -1 & 0 & 1 \\ $\displaystyle \frac{1}{4} & \frac{1}{2} & \frac{1}{4}$ $\end{array}\right)$ $$
从总体中抽取 $\pi$ 个简单随机样木，$N_{1}$ 表示 $n$ 个样本中収到 -1 的个数，$N_{2}$ 表示 $n$ 个样本中取到 0 的个数、 $N_{3}$ 表示 $\pi$ 个标木中取到1的个数，则 $N_{1}$ 与 $N_{2}$ 的相关系数为 $\_\_\_\_$。
20
📝 有解析
第20题
### 【强化篇】第20题（选择题） 20．设总体 $X$ 服从谷数为 $\lambda(\lambda>0)$ 的泊松分布，$X_{1}, X_{2}, \cdots, X_{n}$ 为来自总体 $X$ 的简单随机样本。且对任船的正数 6 。有 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow+\infty} P\left\{\left|\frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} X_{i}^{2}-2\right|<\varepsilon\right\}=1$ ，则 $D[|X-D(X)|]=$ ． （A） $\displaystyle 1-\frac{2}{c}$ （B） $\displaystyle 1+\frac{2}{\mathrm{e}}$ （C） $\displaystyle 1-\frac{4}{c^{2}}$ （D） $\displaystyle 1+\frac{4}{\mathrm{e}^{2}}$
21
📝 有解析
第21题
### 【强化篇】第21题（解答题） 21．已解随机变量 $X$ 在区间 $(0,1)$ 上服从均匀分布，在 $X=x(0
22
📝 有解析
第22题
### 【强化篇】第22题（解答题） 22．设二维随机变量 $(X, Y)$ 的概率密度为
$$ f(x, y)= \begin{cases}a x^{2} y, & x^{2} \leqslant y \leqslant 1 \\ 0, & \text { 其他. }\end{cases} $$
（1）求 $a$ 的值； （2）求 $Z=X^{2} Y$ 的概率密度； （3）求 $\displaystyle E\left(Y \left\lvert\, X=\frac{1}{2}\right.\right)$ 。
## 第7章 大数定律与中心极限定理
1
📝 有解析
第1题
### 【强化篇】第1题（选择题） 1．设 $X_{1}, X_{2}, \cdots, X_{n}$ 是来自总体 $\displaystyle X \sim\left(\begin{array}{cccc}0 & 1 & 2 & 3 \\ \frac{1}{16} & \frac{3}{8} & \frac{1}{16} & \frac{1}{2}\end{array}\right)$ 的简单随机样本，若取值为 2 的样本个数 $K$ 满足 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} P\left\{\frac{K-a}{b} \leqslant x\right\}=\Phi(x)$ ，其中 $\Phi(x)$ 为标准正态分布函数，则 $a, b$ 分别是（ ） （A）$\displaystyle \frac{1}{16}, \frac{\sqrt{15}}{16}$ （B）$\displaystyle \frac{n}{16}, \frac{\sqrt{15 n}}{16}$ （C）$\displaystyle \frac{1}{16}, \frac{\sqrt{15 n}}{16}$ （D）$\displaystyle \frac{n}{16}, \frac{\sqrt{15}}{16}$
2
📝 有解析
第2题
### 【强化篇】第2题（填空题） 2．设 $X \sim N(0,1)$ ，在 $X=x$ 的条件下，总体 $Y \sim N(x, 1)$ ，记 $Y_{1}, Y_{2}, \cdots, Y_{n}, \cdots$ 为取自总体 $Y$ 的简单随机样本，则 $\displaystyle \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} Y_{i}^{2}$ 依概率收敛于 $\_\_\_\_$ ．
3
📝 有解析
第3题
### 【强化篇】第3题（选择题） 3．设总体 $X$ 服从参数为 1 的泊松分布，$X_{1}, X_{2}, \cdots, X_{n}, \cdots$ 为来自总体 $X$ 的简单随机样本．记 $v_{n}(1)$ 为 $n$ 个观测值中不大于 1 的个数，则 $\displaystyle \frac{v_{n}(1)}{n}$ 依概率收敛于 ． （A）$\displaystyle \frac{1}{\mathrm{e}}$ （B）$\displaystyle \frac{2}{\mathrm{e}}$ （C） $\displaystyle 1-\frac{1}{\mathrm{e}}$ （D） $\displaystyle 1-\frac{2}{\mathrm{e}}$
## 第8章 统计量及其分布
1
📝 有解析
第1题
### 【强化篇】第1题（选择题） 1．设 $\displaystyle X \sim B\left(1, \frac{1}{2}\right), X_{1}, X_{2}, X_{3}$ 为来自总体 $X$ 的简单随机样本， $\bar{X}$ 为样本均值，则 $\displaystyle P\left\{\bar{X}>\frac{1}{3}\right\}=(\quad)$ 。 （A）$\displaystyle \frac{3}{8}$ （B）$\displaystyle \frac{1}{2}$ （C）$\displaystyle \frac{5}{8}$ （D）$\displaystyle \frac{7}{8}$
2
📝 有解析
第2题
### 【强化篇】第2题（选择题） 2．设随机变量 $X_{1}, X_{2}, X_{3}, X_{4}$ 相互独立且都服从标准正态分布 $N(0,1)$ ，已知 $\displaystyle Y=\frac{X_{1}^{2}+X_{2}^{2}}{X_{3}^{2}+X_{4}^{2}}$ ，对给定的 $\alpha(0<\alpha<1)$ ，数 $y_{a}$ 满足 $P\left\{Y>y_{a}\right\}=\alpha$ ，则有 () 。 （A）$y_{a} y_{1-a}=1$ （B）$\displaystyle y_{\alpha} y_{1-\frac{\alpha}{2}}=1$ （C）$\displaystyle y_{a} y_{1-a}=\frac{1}{2}$ （D）$\displaystyle y_{\alpha} y_{1-\frac{\alpha}{2}}=\frac{1}{2}$
3
📝 有解析
第3题
### 【强化篇】第3题（选择题） 3．设 $X_{1}, X_{2}, \cdots, X_{n}$ 是来自总体 $N(0,1)$ 的简单随机样本，记 $\displaystyle \bar{X}=\frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} X_{i}, S^{2}=\frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^{n}\left(X_{i}-\bar{X}\right)^{2}$ ， $T=(\bar{X}+1)\left(S^{2}+1\right)$ ，则 $E(T)$ 的值为 () 。 （A） 0 （B） 1 （C） 2 （D） 4
4
📝 有解析
第4题
### 【强化篇】第4题（选择题） 4．设 $X_{1}, X_{2}$ 是取自正态总体 $X \sim N(1,1)$ 的简单随机样本，则 $\displaystyle \frac{X_{1}-1}{\left|1-X_{2}\right|}$ 服从（ ）。 （A）$N(1,1)$ （B）$\chi^{2}(1)$ （C）$t(1)$ （D）$F(1,1)$
5
📝 有解析
第5题
### 【强化篇】第5题（选择题） 5．设随机变量 $X \sim N(0,4)$ ，若 $X_{1}, X_{2}, \cdots, X_{n}(n>2)$ 是来自总体 $X$ 的简单随机样本，则（ ）． （A）$\displaystyle \frac{1}{2 n}\left(\sum_{i=1}^{n} X_{i}\right)^{2} \sim \chi^{2}(1)$ （B）$\displaystyle \frac{1}{16} \sum_{i=1}^{n} X_{i}^{2} \sim \chi^{2}(n)$ （C）$\displaystyle \sqrt{\frac{(n-1) X_{n}^{2}}{\sum_{i=1}^{n-1} X_{i}^{2}}} \sim t(n-1)$ （D）$\displaystyle \frac{(n-1) X_{1}^{2}}{\sum_{i=2}^{n} X_{i}^{2}} \sim F(1, n-1)$
6
📝 有解析
第6题
### 【强化篇】第6题（选择题） 6．已知随机变量 $X, Y$ ，且 $(X, Y)$ 的概率密度为 $\displaystyle f(x, y)=\frac{1}{4 \pi} e^{-\frac{x^{2}}{2}-\frac{(y-1)^{2}}{8}}$ ，则 $\displaystyle \frac{4 X^{2}}{(Y-1)^{2}}$ 服从（ ）． （A）$\chi^{2}(2)$ （B）$t(1)$ （C）$N\left(0,2^{2}\right)$ （D）$F(1,1)$
7
📝 有解析
第7题
### 【强化篇】第7题（解答题） 7．设 $X_{1}, X_{2}, \cdots, X_{9}$ 是来自正态总体 $X$ 的简单随机样本，记
$$ $\begin{gathered}$ Y_{1}=\frac{1}{6}\left(X_{1}+X_{2}+\cdots+X_{6}\right), \\ Y_{2}=\frac{1}{3}\left(X_{7}+X_{\mathrm{s}}+X_{9}\right), \\ S^{2}=\frac{1}{2} \sum_{i-7}^{9}\left(X_{i}-Y_{2}\right)^{2}, Z=\frac{\sqrt{2}\left(Y_{1}-Y_{2}\right)}{S}, \end{gathered} $$
证明统计量 $Z$ 服从自由度为 2 的 $t$ 分布．
## 第9章 参数估计与假设检验
1
📝 有解析
第1题
### 【强化篇】第1题（填空题） 1．设 $X_{1}, X_{2}, \cdots, X_{n}$ 是来自总体 $X \sim N\left(1, \sigma^{2}\right)$ 的简单随机样本，$\sigma>0$ 未知，记 $\sigma^{2}$ 的最大似然估计量为 $\hat{\sigma}^{2}$ ，则 $D\left(\hat{\sigma}^{2}\right)=$ $\_\_\_\_$。
2
📝 有解析
第2题
### 【强化篇】第2题（填空题） 2．设总体 $X$ 服从均匀分布，其概率密度为 $\displaystyle f(x ; \theta)=\left\{\begin{array}{ll}\frac{1}{\theta}, & 0
3
📝 有解析
第3题
### 【强化篇】第3题（选择题） 3．设总体 $\displaystyle X \sim f(x ; \theta)=\left\{\begin{array}{ll}\frac{x}{\theta} \mathrm{e}^{\frac{x^{2}}{20}}, & x>0, \\ 0, & x \leqslant 0,\end{array} \theta>0\right.$ 未知，$X_{1}, X_{2}, \cdots, X_{n}$ 为来自总体 $X$ 的简单随机样本，记 $\hat{\theta}_{M}$ 与 $\hat{\theta}_{L}$ 分别是 $\theta$ 的矩估计量和最大似然估计量，则（）。 （A）$\displaystyle \hat{\theta}_{M}=\frac{2}{\pi} \bar{X}^{2}, E\left(\hat{\theta}_{M}\right)=\theta$ （B）$\displaystyle \hat{\theta}_{M}=\frac{1}{\pi} \bar{X}^{2}, E\left(\hat{\theta}_{M}\right)=\theta$ （C）$\displaystyle \hat{\theta}_{L}=\frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} X_{i}^{2}, E\left(\hat{\theta}_{L}\right)=\theta$ （D）$\displaystyle \hat{\theta}_{L}=\frac{1}{2 n} \sum_{i=1}^{n} X_{i}^{2}, E\left(\hat{\theta}_{L}\right)=\theta$
4
📝 有解析
第4题
### 【强化篇】第4题（填空题） 4．设总体 $X$ 服从参数为 $\lambda$（ $\lambda>0$ 未知）的泊松分布，$X_{1}, X_{2}, \cdots, X_{n}$ 是来自总体 $X$ 的一个简单随机样本，则 $P\{X=0\}$ 的最大似然估计量为 $\_\_\_\_$ ．
5
📝 有解析
第5题
### 【强化篇】第5题（解答题） 5．设总体 $X$ 的概率密度为
$$ f(x ; \theta)= \begin{cases}1, & \theta-\frac{1}{2} \leqslant x \leqslant \theta+\frac{1}{2}, \\ 0, & \text { 其他, }\end{cases} $$
其中 $-\infty<\theta<+\infty . X_{1}, X_{2}, \cdots, X_{n}$ 为取自总体 $X$ 的简单随机样本，并记
$$ X_{(1)}=\min \left\{X_{1}, X_{2}, \cdots, X_{n}\right\}, X_{(n)}=\max \left\{X_{1}, X_{2}, \cdots, X_{n}\right\} . $$
求参数 $\theta$ 的最大似然估计量 $\hat{\theta}_{L}$ ．
6
📝 有解析
第6题
### 【强化篇】第6题（解答题） 6．设某手机每天销售量 $X$（单位：万台）的概率分布为
$$ X \sim\left(\begin{array}{ccc} 10 & 15 & 20 \\ \theta^{2} & \theta(1-\theta) & 1-\theta $\end{array}\right),$ $$
其中 $0<\theta<1$ 为未知参数，且每天的退货率为 $5 \%$ ，现有一周的销售量： $15,10,10,15,20,20,15$ ． （1）求 $\theta$ 的最大似然估计值 $\hat{\theta}$ ； （2）记 $Y$ 为每天的退货量，根据（1）中的 $\hat{\theta}$ ，求 $E(Y)$ ．
7
📝 有解析
第7题
### 【强化篇】第7题（解答题） 7．设总体 $X$ 服从 $\displaystyle \left(0, \frac{1}{\theta}\right]$ 上的均匀分布，$\theta>0$ 为末知参数，$X_{1}, X_{2}, \cdots, X_{n}$ 为来自总体 $X$ 的简单随机样本．求： （1）$\theta$ 的最大似然估计量 $\hat{\theta}$ ； （2）$\hat{\theta}$ 的分布函数； （3）$P\{\theta<\theta \leqslant 0+1)$ ，
8
📝 有解析
第8题
### 【强化篇】第8题（解答题） 8．议 $X_{1}, X_{2}$ 为来自总休 $X \sim U[0,2 \theta]$ 的简单随机样本，$Y_{1}, Y_{2}, Y_{3}$ 为来自总体 $Y \sim U[0,4 \theta]$ 的简单随机样本，且两样本相互独立，其中 $\theta(\theta>0)$ 是未吅参数。利用样本 $X_{1}, X_{2}, Y_{1}, Y_{2}, Y_{3}$ ，求 $\theta$ 的最大似然估计量 $\dot{\theta}$ 、并求 $D(\hat{\theta})$ 。
9
📝 有解析
第9题
### 【强化篇】第9题（解答题） 9．设总休 $X$ 的概率密原为
$$ f(x ; \alpha, \beta)= \begin{cases}\frac{\alpha \beta^{a}}{x^{a+1}}, & x \geqslant \beta, \\ 0, & x<\beta,\end{cases} $$
$a, \beta$ 均大于 $0, X_{1}, X_{2}, \cdots, X_{n}$ 为总体 $X$ 的简单随机样本． （1）求 $a, \beta$ 的最大似然估计皕 $\alpha, \beta$ ； （2）对任煎的 $\varepsilon>0$ ，是否存在常数 $a$ ，使得 $\lim _{n \rightarrow-\infty} P\{|\hat{\beta}-a| \geqslant \varepsilon\}=0$ ？ （3）求 $E\left(\ln X_{1}\right)$ 。
10
📝 有解析
第10题
### 【强化篇】第10题（选择题） 10．设总体 $X$ 服从区间 $[-\theta, \theta]$ 上的均匀分布，$X_{1}, X_{2}, \cdots, X_{n}$ 为来自总体 $X$ 的简单随机样本，聊参数 $\theta(\theta>0)$ 的最大似然估计量 $\hat{\theta}=()$ 。 （A） $\max _{1<1
11
📝 有解析
第11题
### 【强化篇】第11题（填空题） 11．设总体 $X$ 服从区间 $(-\theta, \theta)(\theta>0)$ 上的均匀分布，$X_{1}, X_{2}, \cdots, X_{n}$ 为来自总体 $X$ 的简单随机样本，则参数 $\theta$ 的矩估计量 $\hat{\theta}=$ $\_\_\_\_$ ．
12
📝 有解析
第12题
### 【强化篇】第12题（解答题） 12．设总体 $\displaystyle X \sim\left(\begin{array}{ccc}0 & 1 & 2 \\ \frac{\theta}{4 N} & \frac{\theta}{2 N} & \frac{4 N-3 \theta}{4 N}\end{array}\right)$ ，其中 $N>0$ 已知，$\theta>0$ 未知，设 $X_{1}, X_{2}, \cdots, X_{n}$ 是来自总体 $X$ 的简单随机样本，取到 0 的个数为 $n_{0}$ ，取到 1 的个数为 $n_{1}$ ，取到 2 的个数为 $n_{2}$ ，即 $n_{0}+n_{1}+n_{2}=n$ ． （1）求 $\theta$ 的矩估计量 $\hat{\theta}_{1}$ 和最大似然估计量 $\hat{\theta}_{2}$ ； （2）求 $\dot{\theta}_{1}$ 和 $\dot{\theta}_{2}$ 的数学期望； （3）求 $\hat{\theta}_{1}$ 和 $\hat{\theta}_{2}$ 的方差。
13
📝 有解析
第13题
### 【强化篇】第13题（解答题） 13．设总体 $X \sim U\left[\theta_{0}, \theta_{0}+\theta\right]$ ，其中 $\theta_{0}$ 是已知常数，$\theta>0$ 是未知参数，$X_{1}, X_{2}, \cdots, X_{n}$ 是来自总体 $X$ 的简单随机样本，求： （1）$\theta$ 的矩估计量 $\hat{\theta}_{1}$ 及 $E\left(\hat{\theta}_{1}\right)$ ； （2）$\theta$ 的最大似然估计量 $\hat{\theta}_{2}$ 及 $E\left(\hat{\theta}_{2}\right)$ 。
14
📝 有解析
第14题
### 【强化篇】第14题（解答题） 14．设总体 $X$ 服从 $(0, \theta]$ 上的均匀分布，$\theta>0, X_{1}, X_{2}, \cdots, X_{n}$ 为来自总体 $X$ 的简单随机样本． （1）求 $\theta$ 的最大似然估计量 $\hat{\theta}$ ； （2）求 $\displaystyle Z=\frac{\hat{\theta}}{\theta}$ 的分布函数； （3）若 $P\left\{\hat{\theta}<\theta<\theta_{0}\right\}=1-\alpha, 0<\alpha<1$ ，求 $\theta_{0}$ ．
15
📝 有解析
第15题
### 【强化篇】第15题（解答题） 15．设随机变量 $X$ 与 $Y$ 相互独立，且分别服从正态分布 $N\left(\mu, \sigma^{2}\right)$ 与 $N\left(\mu, 2 \sigma^{2}\right)$ ，其中 $\sigma$ 是未知参数且 $\sigma>0$ 。记 $Z=X-Y$ 。 （1）求 $Z$ 的概準密度 $f\left(z ; \sigma^{2}\right)$ ； （2）设 $Z_{1}, Z_{2}, \cdots, Z_{n}$ 为来自总体 $Z$ 的简单随机样本，求 $\sigma^{2}$ 的最大似然估计量 $\tilde{\sigma}^{2}$ ； （3）是否存在实数 $a$ ，使得对任意的 $\varepsilon>0$ ，都有 $\lim _{a \rightarrow \infty} P\left\{\left|\hat{\sigma}^{2}-a\right| \geqslant \varepsilon\right\}=0$ ？
16
📝 有解析
第16题
### 【强化篇】第16题（解答题） 16．议总体 $X$ 的概率分布为
| $X$ | 1 | 2 | 8 | | :---: | :---: | :---: | :---: | | $P$ | $1-\theta$ | $\theta-\theta$ | $\theta^{2}$ |
其中参数 $\theta \in(0,1)$ 末外。以 $N_{1}$ 表示来自总体 $X$ 的简单随机样本（样本容量为 $n$ ）中等于 $i$ 的个数 （ $i=1,2,3$ ）。求常数 $a_{1}, a_{2}, a_{3}$ ，使 $T=\sum_{i=1}^{J} a_{1} N_{1}$ 为 $\theta$ 的无偏估计量，并求 $T$ 的方兼。
17
📝 有解析
第17题
### 【强化篇】第17题（解答题） 17．设总体 $X$ 的概梁分布为 | $X$ | 0 | 1 | | :---: | :---: | :---: | | $P$ | $1-p$ | $p$ | ，其中 $0
18
📝 有解析
第18题
### 【强化篇】第18题（解答题） 18．设总体 $X$ 的分布函数
$$ F(x)= \begin{cases}0, & x<0, \\ \theta, & 0 \leqslant x<1, \\ 1-2 \theta, & 1 \leqslant x<\frac{3}{2}, \\ 1, & x \geqslant \frac{3}{2},\end{cases} $$
$X_{1}, X_{2}, \cdots, X_{n}$ 是来自总体 $X$ 的简单随机样本． （1）求 $\theta$ 的矩估计量 $\hat{\theta}_{M}$ ，并验证其是否有无偏性、一致性； （2）若 $n$ 个样本中有 $n_{1}$ 个观测值为 $1, n_{2}$ 个观测值为 0 ，求 $\theta$ 的最大似然估计值 $\hat{\theta}_{L}$ ．
19
📝 有解析
第19题
### 【强化篇】第19题（解答题） 19．设总体 $X \sim U[\theta, 2 \theta]$ ，其中 $\theta(>0)$ 是未知参数，$X_{1}, X_{2}, \cdots, X_{n}$ 是来自总体 $X$ 的一个简单随机样本， $\bar{X}$ 为样本均值。 （1）求参数 $\theta$ 的矩估计量，并判断它是否是无偏估计和相合估计； （2）求参数 $\theta$ 的最大似然估计量，并判断它是否是无偏估计．
20
📝 有解析
第20题
### 【强化篇】第20题（解答题） 20．对总体 $X$ 进行简单随机抽样，得如下统计资料：
| $k$ | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | | $X=k$ 的次数 | 12 | 20 | 24 | 24 | 20 |
（1）求总体 $X$ 的数学期望 $a$ 和方差 $b$ 的无偏估计值； （2）根据以上计算结果，分析能否用泊松分布描述总体 $X$ 的概率分布。
21
📝 有解析
第21题
### 【强化篇】第21题（选择题） 21．设总体 $X$ 服从参数为 $\lambda(\lambda>0)$ 的泊松分布，取容量为 1 的简单随机样本 $X_{1}$ ，其样本值 $x_{1}=$ 3．则 $\mathrm{e}^{-2 \lambda}$ 的无偏估计量与无偏估计值分别为（ ）。 （A）$e^{-2 X_{1}}, e^{-0}$ （B）$e^{-x_{1}}, e^{-3}$ （C） 1,1 （D）$(-1)^{x_{1}},-1$
22
📝 有解析
第22题
### 【强化篇】第22题（选择题） 22．设总体 $X$ 的末知参数 $\theta$ 有两个相互独立的无偏估计量 $\dot{\theta}_{1}$ 与 $\dot{\theta}_{2}$ ，且 $D\left(\dot{\theta}_{2}\right)=2 D\left(\dot{\theta}_{1}\right)$ ，记 $\dot{\theta}_{1}= a \hat{\theta}_{1}+b \hat{\theta}_{2}$ ，则以下使得 $\theta$ 最有效的是（ ）。 （A）$\displaystyle a=\frac{1}{3}, b=\frac{1}{3}$ （B）$\displaystyle a=\frac{2}{3}, b=\frac{1}{3}$ （C）$\displaystyle a=\frac{1}{3}, b=\frac{2}{3}$ （D）$\displaystyle a=\frac{2}{3}, b=\frac{2}{3}$
23
📝 有解析
第23题
### 【强化篇】第23题（选择题） 23．设总体 $X \sim N\left(\mu, 2^{2}\right)$ ，其中 $\mu$ 为末知参数，$X_{1}, X_{2}, \cdots, X_{0}$ 是来自总体 $X$ 的简单随机样本，记关于 $\mu$ 的咀信度为 0.95 的置信区间长度为 $L$ ，则 $L$ 的数学期望 $E(L)=$ ． （A）$\displaystyle \frac{2}{3} x_{0.025}$ （B）$\displaystyle \frac{4}{3} z_{0.025}$ （C）$\displaystyle \frac{2}{3} z_{0.05}$ （D）$\displaystyle \frac{4}{3} z_{0.05}$
24
📝 有解析
第24题
### 【强化篇】第24题（选择题） 24．设 $X_{1}, X_{2}, \cdots, X_{25}$ 是来自总体 $N\left(\mu, \sigma^{2}\right)(\sigma>0)$ 的简单随机样本，$\Phi(x)$ 表示标准正态分布函数，考虑假设检验问题：$H_{0}: \mu \leqslant 10, H_{1}: \mu>10$ ，若该检验问题的拒绝域为 $W=\{\bar{X}>20\}$ ，其中 $\displaystyle \bar{X}= \frac{1}{25} \sum_{i=1}^{26} X_{i}$ ，则 $\mu=20.5$ 时，该检验犯第二类错误的概率为 $\displaystyle 1-\Phi\left(\frac{1}{2}\right)$ ，则 $\sigma=$ ． （A） 5 （B） 6 （C） 7 （D） 8
25
📝 有解析
第25题
### 【强化篇】第25题（选择题） 25．设随机变量 $X \sim N\left(\mu_{1}, \sigma_{1}^{2}\right)$ 和 $Y \sim N\left(\mu_{2}, \sigma_{2}^{2}\right)$ ，现检验总体 $X$ 的均值是否大于 $Y$ 的均值，则应检验假设（ ）． （A）$H_{0: \mu_{1}} \leqslant \mu_{2} ; H_{1: \mu_{1}}>\mu_{2}$ （B）$H_{0}: \mu_{1} \geqslant \mu_{2} ; H_{1}: \mu_{1}<\mu_{2}$ （C）$H_{0}: \mu_{1}<\mu_{2} ; H_{1}: \mu_{1} \geqslant \mu_{2}$ （D）$H_{0}: \mu_{1}>\mu_{2} ; H_{1}: \mu_{1} \leqslant \mu_{2}$
26
📝 有解析
第26题
### 【强化篇】第26题（选择题） 26．关于总体 $X$ 的假设 $H$ 属于简单假设的是 ）． （A）已知 $X$ 服从正态分布，$H: E(X)=0$ （B）已知 $X$ 服从指数分布，$H: E(X) \geqslant 1$ （C）已知 $X$ 服从二项分布，$H: D(X)=5$ （D）已知 $X$ 服从泊松分布，$H: D(X)=3$
27
📝 有解析
第27题
### 【强化篇】第27题（选择题） 27．设 $X_{1}, X_{2}, \cdots, X_{n}$ 是来自均匀分布总体 $U(0, \theta)(\theta>0)$ 的简单随机样本，原假设 $H_{0}: \theta \geqslant 2$ ，备择假设 $H_{1}: \theta<2$ ，拒绝域为 $W=\left\{X_{(n)} \leqslant a\right\}$ ，其中 $a>0, X_{(n)}=\max \left\{X_{1}, X_{2}, \cdots, X_{n}\right\}$ ，若犯第一类错误的概率的最大值为 $\displaystyle \frac{1}{3^{n}}$ ，则 $a=$ ． （A）$\displaystyle \frac{4}{3}$ （B）$\displaystyle \frac{2}{3}$ （C）$\displaystyle \frac{3}{4}$ （D）$\displaystyle \frac{3}{2}$
28
📝 有解析
第28题
### 【强化篇】第28题（解答题） 28．设总体 $X$ 的概率密度为
$$ f(x ; \theta)= \begin{cases}\frac{\theta}{x^{2}}, & x \geqslant \theta, \\ 0, & x<\theta,\end{cases} $$
其中 $\theta>0$ 为未知参数，$X_{1}, X_{2}, \cdots, X_{n}(n>1)$ 为来自总体 $X$ 的简单随机样本，$X_{(1)}=\min \left\{X_{1}\right.$ ， $\left.X_{2}, \cdots, X_{n}\right\}$ 。 （1）求 $\theta$ 的最大似然估计量 $\hat{\theta}$ ，并求常数 $a$ ，使得 $a \hat{\theta}$ 为 $\theta$ 的无偏估计； （2）对于原假设 $H_{0}: \theta=2$ 与备择假设 $H_{1}: \theta>2$ ，若 $H_{0}$ 的拒绝域为 $V=\left\{X_{(1)} \geqslant 3\right\}$ ，求犯第一类错误的概率 $\alpha$ 。
綜合篇