kaoyan1basic 概率论与数理统计 第647题
📝 题目
### 第647题 设 $L$ 是以 $A(1,0), B(0,1), C(-1,0), D(0,-1)$ 为顶点的正方形边界，则 $\displaystyle \oint_{L} \frac{x+y+1}{|x|+|y|} \mathrm{d} s$ 等于 （A） $4 \sqrt{2}$ ． （B） 0 ． （C） $2 \sqrt{2}$ ． （D） 4 ． ## －纠错笔记
💡 答案解析
**答案**：A
**解析**： 步骤1：分析被积函数与积分路径。正方形边界由四条直线段组成：AB、BC、CD、DA。在每条边上，|x|+|y|的值不同。由于被积函数分母为|x|+|y|，需分段计算。
步骤2：分段计算。 - 边AB：从A(1,0)到B(0,1)，满足x≥0, y≥0，且x+y=1，故|x|+|y|=x+y=1。弧长微元ds = √(dx²+dy²)，沿直线x+y=1，dy = -dx，ds = √(1+1)dx = √2 dx。积分：∫_{AB} (x+y+1)/1 ds = ∫_{x=1}^{0} (1+1) √2 dx = ∫_{1}^{0} 2√2 dx = -2√2。方向从A到B，但第一类曲线积分与方向无关，实际积分值为∫_{x=0}^{1} 2√2 dx = 2√2（从B到A更简便）。正确计算：沿AB，x从1到0，但ds为正，积分=∫_{1}^{0} 2√2 dx = -2√2，取绝对值？注意：第一类曲线积分与路径方向无关，积分值应为正，故应沿参数增加方向。设参数t：x=t, y=1-t，t从0到1，则ds=√2 dt，被积函数= (t+1-t+1)/1=2，积分=∫_{0}^{1} 2√2 dt = 2√2。 - 边BC：从B(0,1)到C(-1,0)，满足x≤0, y≥0，且|x|+|y| = -x+y。直线方程：x+y=1？实际上B到C：x从0到-1，y从1到0，满足x+y=1？检查：B(0,1)满足0+1=1，C(-1,0)满足-1+0=-1，不相等。正确方程：过B和C的直线为y=x+1？B(0,1)代入得1=1，C(-1,0)代入得0=-1+1=0，成立。故y=x+1，x从0到-1，则|x|+|y| = -x + (x+1)=1（因为x≤0，-x≥0；y≥0）。被积函数= (x+y+1)/1 = x+(x+1)+1=2x+2。ds = √(1+1)dx = √2 dx，x从0到-1，积分=∫_{0}^{-1} (2x+2)√2 dx = √2 [x²+2x]_{0}^{-1} = √2(1-2)= -√2。取绝对值？实际积分应沿参数增加方向：设x=t，t从0到-1，但第一类曲线积分与方向无关，可反向积分：从C到B，x从-1到0，则积分=∫_{-1}^{0} (2x+2)√2 dx = √2 [x²+2x]_{-1}^{0} = √2(0 - (1-2)) = √2(1)=√2。故BC段积分=√2。 - 边CD：从C(-1,0)到D(0,-1)，满足x≤0, y≤0，且|x|+|y| = -x - y。直线方程：y = -x -1？C(-1,0)代入得0=1-1=0，D(0,-1)代入得-1=0-1=-1，成立。故y=-x-1，x从-1到0，则|x|+|y| = -x - (-x-1)=1。被积函数= (x+y+1)/1 = x+(-x-1)+1=0。积分=0。 - 边DA：从D(0,-1)到A(1,0)，满足x≥0, y≤0，且|x|+|y| = x - y。直线方程：y = x-1？D(0,-1)代入得-1=-1，A(1,0)代入得0=0，成立。x从0到1，则|x|+|y| = x - (x-1)=1。被积函数= (x+y+1)/1 = x+(x-1)+1=2x。ds = √2 dx，积分=∫_{0}^{1} 2x √2 dx = 2√2 * (1/2) = √2。
步骤3：求和。总积分 = AB段2√2 + BC段√2 + CD段0 + DA段√2 = 4√2。
**难度**：★★☆☆☆