kaoyan1basic 概率论与数理统计 第613题
📝 题目
### 第613题 设 $\Gamma$ 为质量均匀分布的半圆 $y=\sqrt{1-x^{2}}$ ，线密度为 $\rho$ ，则 $\Gamma$ 对 $x$ 轴的转动惯量 $I_{x}=$ $\_\_\_\_$。 ◯纠错笔记614 设 $f(x, y, z)=\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}}$ ，则 $\left.\operatorname{div}(\operatorname{grad} f)\right|_{(1,-2,2)}=$ $\_\_\_\_$ ．
💡 答案解析
**答案**：$\displaystyle \frac{\pi\rho}{2}$ **解析**： 步骤1：半圆$y=\sqrt{1-x^2}$，线密度$\rho$，对$x$轴转动惯量$I_x = \int_{\Gamma} y^2 \rho ds$。 步骤2：参数化：$x=\cos\theta, y=\sin\theta$，$\theta$从$0$到$\pi$，$ds = d\theta$。 步骤3：$\displaystyle I_x = \rho \int_0^\pi \sin^2\theta d\theta = \rho \cdot \frac{\pi}{2} = \frac{\pi\rho}{2}$。 **难度**：★★☆☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/3
目标：建立转动惯量积分表达式
对于质量均匀分布的曲线，对x轴的转动惯量为 I_x = ∫_Γ y^2 ρ ds，其中ρ为线密度，ds为弧长微元。
公式：I_x = ∫_Γ y^2 ρ ds
提示：注意转动惯量是质量乘以距离平方的积分，距离为点到x轴的距离|y|。
步骤 2/3
目标：参数化曲线并计算弧长微元
半圆 y = √(1-x^2) 可参数化为 x = cosθ, y = sinθ, θ ∈ [0, π]。弧长微元 ds = √(dx^2+dy^2) = √(sin^2θ+cos^2θ) dθ = dθ。
公式：ds = dθ
提示：参数化时注意角度范围，半圆对应θ从0到π。
步骤 3/3
目标：代入积分并计算
将参数化代入积分：I_x = ρ ∫_0^π sin^2θ dθ。计算 ∫_0^π sin^2θ dθ = π/2，因此 I_x = ρ * π/2 = πρ/2。
公式：∫_0^π sin^2θ dθ = π/2
提示：利用倍角公式 sin^2θ = (1-cos2θ)/2 可快速积分。
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