kaoyan1basic 概率论与数理统计 第1题

**答案**：C **解析**： 对于任意事件A、B，有概率的加法公式： P(A∪B) = P(A) + P(B) − P(AB) 移项可得： P(A) + P(AB) = P(A∪B) + P(B) − P(AB) + P(AB)？这里我们直接比较选项C： P(A) + P(AB) ≥ P(A∪B) 代入公式右边：P(A∪B) = P(A) + P(B) − P(AB) 则不等式变为： P(A) + P(AB) ≥ P(A) + P(B) − P(AB) 两边消去P(A)，得： P(AB) ≥ P(B) − P(AB) 即 2P(AB) ≥ P(B) 由于P(AB) ≤ P(B)，所以2P(AB) ≥ P(B)不一定总成立？这里需要更仔细分析。 实际上，直接由概率的单调性：因为AB ⊆ A，所以P(AB) ≤ P(A)；又因为A ⊆ A∪B，所以P(A) ≤ P(A∪B)。因此： P(A) + P(AB) ≥ P(A) ≥ P(A∪B)？并不一定，因为P(A)可能小于P(A∪B)。 正确推导： 由P(A∪B) = P(A) + P(B) − P(AB) 则 P(A) + P(AB) − P(A∪B) = P(A) + P(AB) − [P(A) + P(B) − P(AB)] = 2P(AB) − P(B) 这个值不一定非负，所以C不一定成立？ 我们重新检查选项： 实际上，对于任意事件，有： P(A) + P(AB) ≥ P(A) ≥ P(AB) 显然，但和P(A∪B)比较需要更严谨。 考虑恒等式： P(A) + P(AB) − P(A∪B) = P(A) + P(AB) − [P(A) + P(B) − P(AB)] = 2P(AB) − P(B) 由于P(AB) ≤ P(B)，所以2P(AB) − P(B) ≤ P(B)，可能为负。例如A与B互斥且P(B)=0.8，P(AB)=0，则左边为负，不等式不成立。因此C不一定正确。 那么哪个选项一定正确？ 我们检验选项A： P(A)P(B) ≥ P(A∪B)P(AB) 取A、B互斥，P(AB)=0，右边为0，左边≥0，成立；但若A=B，则左边P(A)^2，右边P(A)*P(A)=P(A)^2，相等，也成立。实际上这个不等式是概率论中的已知不等式，可由FKG不等式或简单推导： 因为P(A∪B) ≤ 1，P(AB) ≤ min(P(A),P(B))，所以右边 ≤ P(A)P(B)？不一定，因为P(A∪B)可能大于P(A)或P(B)。 更可靠方法：考虑概率空间，由布尔不等式：P(A∪B) ≤ P(A)+P(B)，但乘积不好比较。 实际上，有一个已知结论：对任意事件，有P(A)P(B) ≥ P(A∪B)P(AB) 成立。证明： P(A)P(B) − P(A∪B)P(AB) = P(A)P(B) − [P(A)+P(B)−P(AB)]P(AB) = P(A)P(B) − P(A)P(AB) − P(B)P(AB) + [P(AB)]^2 = [P(A)−P(AB)][P(B)−P(AB)] ≥ 0 因为P(A)≥P(AB)，P(B)≥P(AB)。因此A正确。 所以正确答案是A。

**难度**：★☆☆☆☆