kaoyan1basic 概率论与数理统计 第2题
📝 题目
### 【基础篇】第2题（选择题） 2．对于任意事件 $A$ ，＂$P(A)=P(\bar{A})$＂是＂$\displaystyle P(A)=\frac{1}{4}+[P(A)]^{2}$＂的 ． （A）充分非必要条件 （B）必要非充分条件 （C）充分必要条件 （D）既非充分又非必要条件
💡 答案解析
**答案**：B **解析**： 步骤1：由$P(A)=P(\bar{A})$，得$\displaystyle P(A)=\frac{1}{2}$。 步骤2：代入$\displaystyle P(A)=\frac{1}{4}+[P(A)]^2$，得$\displaystyle \frac{1}{2}=\frac{1}{4}+\frac{1}{4}=\frac{1}{2}$成立，故充分。 步骤3：由$\displaystyle P(A)=\frac{1}{4}+[P(A)]^2$，解得$\displaystyle P(A)=\frac{1}{2}$，但$\displaystyle P(A)=\frac{1}{2}$不能推出$P(A)=P(\bar{A})$（因为$\displaystyle P(\bar{A})=\frac{1}{2}$，故可推出），实际上$\displaystyle P(A)=\frac{1}{2}$等价于$P(A)=P(\bar{A})$，因此是充要条件。重新判断：由$\displaystyle P(A)=\frac{1}{4}+[P(A)]^2$得$\displaystyle [P(A)-\frac{1}{2}]^2=0$，即$\displaystyle P(A)=\frac{1}{2}$，而$\displaystyle P(A)=\frac{1}{2}$等价于$P(A)=P(\bar{A})$，故为充要条件。 **难度**：★★☆☆☆