kaoyan1basic 概率论与数理统计 第3题
📝 题目
### 【基础篇】第3题（选择题） 3．设随机变量 $X$ 服从参数为 $p(0
💡 答案解析
**答案**：D **解析**： 几何分布$P(X=k)=p(1-p)^{k-1}$，$k=1,2,\cdots$。 $\displaystyle E\left(\frac{1}{X}\right)=\sum_{k=1}^\infty \frac{1}{k}p(1-p)^{k-1}=p\sum_{k=1}^\infty \frac{(1-p)^k}{k}=-\frac{p\ln p}{1-p}$（利用$\displaystyle \sum_{k=1}^\infty \frac{x^k}{k}=-\ln(1-x)$）。 **难度**：★★★☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：写出几何分布的概率分布
随机变量X服从参数为p的几何分布，其概率分布为P(X=k)=p(1-p)^{k-1}，k=1,2,...
公式：P(X=k)=p(1-p)^{k-1}
提示：几何分布描述首次成功所需的试验次数
步骤 2/5
目标：写出期望表达式
根据期望定义，E(1/X)=∑_{k=1}^∞ (1/k) P(X=k)=∑_{k=1}^∞ (1/k) p(1-p)^{k-1}
公式：E(1/X)=∑_{k=1}^∞ (1/k) p(1-p)^{k-1}
提示：注意求和从k=1开始
步骤 3/5
目标：化简期望表达式
将p提出来，并令x=1-p，则E(1/X)=p∑_{k=1}^∞ (1/k) x^{k-1}=p/x ∑_{k=1}^∞ x^k/k
公式：E(1/X)=p∑_{k=1}^∞ (1/k)(1-p)^{k-1}
提示：利用幂级数求和技巧
步骤 4/5
目标：利用已知级数求和公式
已知∑_{k=1}^∞ x^k/k = -ln(1-x)，其中|x|<1。这里x=1-p，且0
公式：∑_{k=1}^∞ x^k/k = -ln(1-x)
提示：注意1-x=p，所以-ln(1-x)=-ln(p)
步骤 5/5
目标：得出最终结果
因此E(1/X) = -p ln(p)/(1-p)，对应选项D
公式：E(1/X) = -p ln p/(1-p)
提示：检查选项，注意负号
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