kaoyan1basic 概率论与数理统计 第4题
📝 题目
### 【基础篇】第4题（填空题） 4．设随机变量 $X$ 服从参数为 $\lambda=2$ 的泊松分布，则 $P\{X>D(X)\}=$ $\_\_\_\_$ ．
💡 答案解析
**答案**：$1-3\mathrm{e}^{-2}$ **解析**： $X\sim P(2)$，$D(X)=2$。$P(X>2)=1-P(X=0)-P(X=1)-P(X=2)=1-\mathrm{e}^{-2}-2\mathrm{e}^{-2}-2\mathrm{e}^{-2}=1-5\mathrm{e}^{-2}$。 **难度**：★★☆☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/4
目标：确定泊松分布的方差
已知随机变量X服从参数λ=2的泊松分布，泊松分布的方差等于其参数，即D(X)=λ=2。
公式：D(X)=λ
提示：泊松分布的期望和方差都等于参数λ。
步骤 2/4
目标：将概率事件转化为具体数值不等式
需要计算P{X>D(X)}=P{X>2}。由于X取非负整数，所以P{X>2}=1-P{X≤2}=1-[P(X=0)+P(X=1)+P(X=2)]。
公式：P{X>2}=1-∑_{k=0}^{2}P(X=k)
提示：注意泊松分布的概率质量函数为P(X=k)=e^{-λ}λ^k/k!。
步骤 3/4
目标：计算各概率值
代入λ=2：P(X=0)=e^{-2}，P(X=1)=2e^{-2}，P(X=2)=2e^{-2}。
公式：P(X=k)=e^{-2}·2^k/k!
提示：计算时注意2^2/2!=2。
步骤 4/4
目标：求和并得出最终概率
P{X≤2}=e^{-2}+2e^{-2}+2e^{-2}=5e^{-2}，所以P{X>2}=1-5e^{-2}。
公式：P{X>2}=1-5e^{-2}
提示：最终结果保留指数形式。
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