kaoyan1basic 概率论与数理统计 第6题
📝 题目
### 【基础篇】第6题（填空题） 6．设 $X_{1}, X_{2}, \cdots, X_{n}(n>2)$ 是来自总体 $X \sim N(0,1)$ 的简单随机样本，由切比雪夫不等式得 $P\left\{0<\sum_{i=1}^{n} X_{i}^{2}<2 n\right\}$ 不小于 $\_\_\_\_$ ．
## 第5章 多维随机变量函数的分布
💡 答案解析
**答案**：$\displaystyle 1-\frac{2}{n}$ **解析**： 步骤1：$X_i\sim N(0,1)$，则$X_i^2\sim\chi^2(1)$，$E(X_i^2)=1$，$D(X_i^2)=2$。令$S_n=\sum_{i=1}^{n}X_i^2$，则$E(S_n)=n$，$D(S_n)=2n$。 步骤2：由切比雪夫不等式，$\displaystyle P\{|S_n-n|
📋 详细解题步骤
步骤 1/2
目标：计算样本平方和的期望和方差
由于总体X服从标准正态分布，所以X_i^2服从自由度为1的卡方分布，其期望为1，方差为2。令S_n = ΣX_i^2，则E(S_n)=n，D(S_n)=2n。
公式：E(X_i^2)=1, D(X_i^2)=2; E(S_n)=n, D(S_n)=2n
提示：注意卡方分布的期望和方差公式。
步骤 2/2
目标：应用切比雪夫不等式
切比雪夫不等式：P{|S_n - E(S_n)| < ε} ≥ 1 - D(S_n)/ε^2。这里需要P{0 < S_n < 2n}，即P{|S_n - n| < n}，取ε=n。代入得P{|S_n - n| < n} ≥ 1 - (2n)/n^2 = 1 - 2/n。
公式：P{|S_n - n| < n} ≥ 1 - D(S_n)/n^2 = 1 - 2/n
提示：注意将区间转化为绝对值不等式形式。
📷 拍照上传批改
拍照上传批改功能已预留入口，后续接入图片上传、OCR识别与AI批改。