kaoyan1basic 概率论与数理统计 第3题
📝 题目
### 【强化篇】第3题（选择题） 3．设总体 $X$ 服从参数为 1 的泊松分布，$X_{1}, X_{2}, \cdots, X_{n}, \cdots$ 为来自总体 $X$ 的简单随机样本．记 $v_{n}(1)$ 为 $n$ 个观测值中不大于 1 的个数，则 $\displaystyle \frac{v_{n}(1)}{n}$ 依概率收敛于 ． （A）$\displaystyle \frac{1}{\mathrm{e}}$ （B）$\displaystyle \frac{2}{\mathrm{e}}$ （C） $\displaystyle 1-\frac{1}{\mathrm{e}}$ （D） $\displaystyle 1-\frac{2}{\mathrm{e}}$
## 第8章 统计量及其分布
💡 答案解析
**答案**：B **解析**： 步骤1：$X\sim P(1)$，$P(X=0)=e^{-1}$，$P(X=1)=e^{-1}$，$P(X\leq 1)=2e^{-1}$。 步骤2：$v_n(1)$为不大于1的个数，$\displaystyle \frac{v_n(1)}{n}$依概率收敛于$\displaystyle P(X\leq 1)=\frac{2}{e}$。 **难度**：★☆☆☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/2
目标：计算泊松分布中X≤1的概率
总体X服从参数为1的泊松分布，即X~P(1)。泊松分布的概率质量函数为P(X=k)=e^{-λ}λ^k/k!，其中λ=1。计算P(X=0)=e^{-1}，P(X=1)=e^{-1}，因此P(X≤1)=P(X=0)+P(X=1)=2e^{-1}。
公式：P(X=k)=e^{-λ}λ^k/k!，λ=1
提示：注意泊松分布参数为1，e^{-1}是常见值。
步骤 2/2
目标：应用大数定律确定依概率收敛值
v_n(1)是n个观测值中不大于1的个数，因此v_n(1)/n是样本中事件{X≤1}发生的频率。根据大数定律，样本频率依概率收敛于总体概率，即v_n(1)/n依概率收敛于P(X≤1)=2/e。
公式：大数定律：频率依概率收敛于概率
提示：注意题目要求依概率收敛，直接使用大数定律。
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