kaoyan1basic 概率论与数理统计 第1题
📝 题目
### 【强化篇】第1题（选择题） 1．设 $\displaystyle X \sim B\left(1, \frac{1}{2}\right), X_{1}, X_{2}, X_{3}$ 为来自总体 $X$ 的简单随机样本， $\bar{X}$ 为样本均值，则 $\displaystyle P\left\{\bar{X}>\frac{1}{3}\right\}=(\quad)$ 。 （A）$\displaystyle \frac{3}{8}$ （B）$\displaystyle \frac{1}{2}$ （C）$\displaystyle \frac{5}{8}$ （D）$\displaystyle \frac{7}{8}$
💡 答案解析
**答案**：B **解析**： 步骤1：$\displaystyle X\sim B(1,\frac{1}{2})$，$X_1,X_2,X_3$独立同分布，$\displaystyle \bar{X}=\frac{1}{3}\sum_{i=1}^3 X_i$。 步骤2：$\displaystyle \bar{X}>\frac{1}{3}$等价于$\sum X_i>1$，即$\sum X_i\geq 2$。 步骤3：$\displaystyle P(\sum X_i\geq 2)=C_3^2(\frac{1}{2})^3+C_3^3(\frac{1}{2})^3=\frac{3}{8}+\frac{1}{8}=\frac{1}{2}$。 **难度**：★☆☆☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/3
目标：理解题意，明确总体分布和样本
总体X服从参数为1/2的0-1分布，即X~B(1,1/2)。X1,X2,X3是来自总体X的简单随机样本，因此独立同分布。样本均值定义为X̄ = (X1+X2+X3)/3。
公式：X̄ = (1/3)∑_{i=1}^3 X_i
提示：注意样本均值的定义，以及独立同分布的性质。
步骤 2/3
目标：将事件转化为关于样本和的事件
要求P{X̄ > 1/3}，即P{(X1+X2+X3)/3 > 1/3}，等价于P{X1+X2+X3 > 1}。由于X_i取值为0或1，所以和大于1意味着和至少为2，即∑X_i ≥ 2。
公式：X̄ > 1/3 ⇔ ∑X_i > 1 ⇔ ∑X_i ≥ 2
提示：注意离散随机变量取整数值，不等式可转化为整数条件。
步骤 3/3
目标：计算概率
每个X_i服从B(1,1/2)，所以P(X_i=0)=1/2，P(X_i=1)=1/2。三个独立伯努利试验，和服从二项分布B(3,1/2)。P(∑X_i ≥ 2) = P(∑X_i=2) + P(∑X_i=3) = C(3,2)*(1/2)^3 + C(3,3)*(1/2)^3 = 3/8 + 1/8 = 1/2。
公式：P(∑X_i=k) = C(3,k)*(1/2)^3, k=0,1,2,3
提示：二项分布概率公式，注意组合数计算。
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