kaoyan1basic 概率论与数理统计 第2题
📝 题目
### 【强化篇】第2题（选择题） 2．设随机变量 $X_{1}, X_{2}, X_{3}, X_{4}$ 相互独立且都服从标准正态分布 $N(0,1)$ ，已知 $\displaystyle Y=\frac{X_{1}^{2}+X_{2}^{2}}{X_{3}^{2}+X_{4}^{2}}$ ，对给定的 $\alpha(0<\alpha<1)$ ，数 $y_{a}$ 满足 $P\left\{Y>y_{a}\right\}=\alpha$ ，则有 () 。 （A）$y_{a} y_{1-a}=1$ （B）$\displaystyle y_{\alpha} y_{1-\frac{\alpha}{2}}=1$ （C）$\displaystyle y_{a} y_{1-a}=\frac{1}{2}$ （D）$\displaystyle y_{\alpha} y_{1-\frac{\alpha}{2}}=\frac{1}{2}$
💡 答案解析
**答案**：A **解析**： 步骤1：$X_1^2+X_2^2\sim\chi^2(2)$，$X_3^2+X_4^2\sim\chi^2(2)$，$\displaystyle Y=\frac{X_1^2+X_2^2}{X_3^2+X_4^2}\sim F(2,2)$。 步骤2：$F$分布性质：$\displaystyle F_{1-\alpha}(2,2)=\frac{1}{F_\alpha(2,2)}$，即$\displaystyle y_{1-\alpha}=\frac{1}{y_\alpha}$，故$y_\alpha y_{1-\alpha}=1$。 **难度**：★★☆☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/2
目标：确定Y的分布
由于X1, X2, X3, X4相互独立且服从标准正态分布，则X1^2+X2^2服从自由度为2的卡方分布，X3^2+X4^2也服从自由度为2的卡方分布，且两者独立。因此Y = (X1^2+X2^2)/(X3^2+X4^2)服从F分布，自由度为(2,2)。
公式：若U~χ²(m), V~χ²(n)且独立，则F=(U/m)/(V/n)~F(m,n)。这里m=n=2，且分母无除自由度，故Y~F(2,2)。
提示：注意F分布的定义：分子和分母的卡方变量需除以各自的自由度。本题中分子分母自由度相同，但未除自由度，因此Y服从F(2,2)分布。
步骤 2/2
目标：利用F分布的分位数性质
对于F分布，有性质：F_{1-α}(m,n) = 1/F_α(n,m)。这里m=n=2，所以F_{1-α}(2,2) = 1/F_α(2,2)。即y_{1-α} = 1/y_α。因此y_α * y_{1-α} = 1。
公式：F_{1-α}(m,n) = 1/F_α(n,m)
提示：注意分位数下标：P{Y > y_α} = α，则y_α是上α分位数。
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