kaoyan1basic 概率论与数理统计 第3题
📝 题目
### 【强化篇】第3题（选择题） 3．设 $X_{1}, X_{2}, \cdots, X_{n}$ 是来自总体 $N(0,1)$ 的简单随机样本，记 $\displaystyle \bar{X}=\frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} X_{i}, S^{2}=\frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^{n}\left(X_{i}-\bar{X}\right)^{2}$ ， $T=(\bar{X}+1)\left(S^{2}+1\right)$ ，则 $E(T)$ 的值为 () 。 （A） 0 （B） 1 （C） 2 （D） 4
💡 答案解析
**答案**：C **解析**： 步骤1：$\displaystyle \bar{X}\sim N(0,\frac{1}{n})$，$E(\bar{X})=0$，$\displaystyle D(\bar{X})=\frac{1}{n}$，$\displaystyle E(\bar{X}^2)=\frac{1}{n}$。 步骤2：$(n-1)S^2\sim\chi^2(n-1)$，$E(S^2)=1$，$\displaystyle D(S^2)=\frac{2}{n-1}$，$\displaystyle E(S^4)=[E(S^2)]^2+D(S^2)=1+\frac{2}{n-1}$。 步骤3：$E(T)=E[(\bar{X}+1)(S^2+1)]=E(\bar{X}S^2+\bar{X}+S^2+1)=E(\bar{X})E(S^2)+E(\bar{X})+E(S^2)+1$（$\bar{X}$与$S^2$独立），代入得$0\cdot1+0+1+1=2$。 **难度**：★★★☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/3
目标：计算样本均值的期望和方差
由于总体服从标准正态分布，样本均值服从正态分布：$\bar{X} \sim N(0, \frac{1}{n})$。因此，$E(\bar{X}) = 0$，$D(\bar{X}) = \frac{1}{n}$，$E(\bar{X}^2) = D(\bar{X}) + [E(\bar{X})]^2 = \frac{1}{n}$。
公式：$\bar{X} \sim N(0, \frac{1}{n})$，$E(\bar{X})=0$，$D(\bar{X})=\frac{1}{n}$
提示：注意样本均值的方差是总体方差的1/n。
步骤 2/3
目标：计算样本方差的期望和二阶矩
由抽样分布理论，$(n-1)S^2 \sim \chi^2(n-1)$。卡方分布的期望为自由度，方差为2倍自由度。因此，$E[(n-1)S^2] = n-1$，$D[(n-1)S^2] = 2(n-1)$。从而$E(S^2) = 1$，$D(S^2) = \frac{2}{n-1}$，$E(S^4) = [E(S^2)]^2 + D(S^2) = 1 + \frac{2}{n-1}$。
公式：$(n-1)S^2 \sim \chi^2(n-1)$，$E(S^2)=1$，$D(S^2)=\frac{2}{n-1}$
提示：注意卡方分布的性质：期望等于自由度，方差等于2倍自由度。
步骤 3/3
目标：利用独立性和期望线性性质计算E(T)
由于$\bar{X}$与$S^2$独立（正态总体下样本均值和样本方差独立），所以$E(\bar{X}S^2) = E(\bar{X})E(S^2) = 0 \times 1 = 0$。因此，$E(T) = E[(\bar{X}+1)(S^2+1)] = E(\bar{X}S^2 + \bar{X} + S^2 + 1) = E(\bar{X}S^2) + E(\bar{X}) + E(S^2) + 1 = 0 + 0 + 1 + 1 = 2$。
公式：$E(T)=E(\bar{X})E(S^2)+E(\bar{X})+E(S^2)+1$
提示：注意$\bar{X}$与$S^2$独立是正态总体的重要性质。
📷 拍照上传批改
拍照上传批改功能已预留入口，后续接入图片上传、OCR识别与AI批改。