kaoyan1basic 概率论与数理统计 第4题
📝 题目
### 【强化篇】第4题（选择题） 4．设 $X_{1}, X_{2}$ 是取自正态总体 $X \sim N(1,1)$ 的简单随机样本，则 $\displaystyle \frac{X_{1}-1}{\left|1-X_{2}\right|}$ 服从（ ）。 （A）$N(1,1)$ （B）$\chi^{2}(1)$ （C）$t(1)$ （D）$F(1,1)$
💡 答案解析
**答案**：C **解析**： 步骤1：$X_1-1\sim N(0,1)$，$X_2-1\sim N(0,1)$，$|1-X_2|=|X_2-1|$。 步骤2：$\displaystyle \frac{X_1-1}{|X_2-1|}$分子为标准正态，分母为绝对值标准正态，但$t(1)$定义为$\displaystyle \frac{Z}{\sqrt{U/1}}$，其中$Z\sim N(0,1)$，$U\sim\chi^2(1)$，而$|X_2-1|$不是$\sqrt{\chi^2(1)}$（因为$\sqrt{\chi^2(1)}=|Z|$），故$\displaystyle \frac{X_1-1}{|X_2-1|}=\frac{Z_1}{|Z_2|}$，服从柯西分布，即$t(1)$分布。 **难度**：★★☆☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/3
目标：标准化样本
由于总体 X~N(1,1)，样本 X1 和 X2 独立同分布，因此 X1-1~N(0,1)，X2-1~N(0,1)。分母 |1-X2| = |X2-1|。
公式：X_i - 1 ~ N(0,1)
提示：注意标准化：减去均值除以标准差，这里标准差为1。
步骤 2/3
目标：识别分子和分母的分布
分子 Z1 = X1-1 ~ N(0,1)。分母 |X2-1| 是标准正态随机变量的绝对值，即 |Z2|，其中 Z2 ~ N(0,1)。
公式：|Z2| 是半正态分布
提示：绝对值变换不改变分布类型，但注意分母不是卡方分布的开方。
步骤 3/3
目标：联系t分布定义
t(1)分布定义为 Z / sqrt(U/1)，其中 Z~N(0,1)，U~χ²(1)。而 sqrt(χ²(1)) = |Z|，因此 t(1) = Z / |Z'|，其中 Z' 是与 Z 独立的另一标准正态变量。本题中分子 Z1，分母 |Z2|，且 Z1 与 Z2 独立，故服从 t(1)分布。
公式：t(1) = Z / sqrt(χ²(1)/1) = Z / |Z'|
提示：t分布的自由度为1时，就是柯西分布。
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