kaoyan1basic 概率论与数理统计 第5题
📝 题目
### 【强化篇】第5题（选择题） 5．设随机变量 $X \sim N(0,4)$ ，若 $X_{1}, X_{2}, \cdots, X_{n}(n>2)$ 是来自总体 $X$ 的简单随机样本，则（ ）． （A）$\displaystyle \frac{1}{2 n}\left(\sum_{i=1}^{n} X_{i}\right)^{2} \sim \chi^{2}(1)$ （B）$\displaystyle \frac{1}{16} \sum_{i=1}^{n} X_{i}^{2} \sim \chi^{2}(n)$ （C）$\displaystyle \sqrt{\frac{(n-1) X_{n}^{2}}{\sum_{i=1}^{n-1} X_{i}^{2}}} \sim t(n-1)$ （D）$\displaystyle \frac{(n-1) X_{1}^{2}}{\sum_{i=2}^{n} X_{i}^{2}} \sim F(1, n-1)$
💡 答案解析
**答案**：D **解析**： 步骤1：$X_i\sim N(0,4)$，$\displaystyle \frac{X_i}{2}\sim N(0,1)$。 步骤2：A：$\displaystyle \frac{1}{2n}(\sum X_i)^2$，$\sum X_i\sim N(0,4n)$，$\displaystyle \frac{\sum X_i}{2\sqrt{n}}\sim N(0,1)$，平方得$\chi^2(1)$，但$\displaystyle \frac{1}{2n}(\sum X_i)^2=2(\frac{\sum X_i}{2\sqrt{n}})^2\sim 2\chi^2(1)$，不是$\chi^2(1)$。 步骤3：B：$\displaystyle \frac{1}{16}\sum X_i^2=\sum(\frac{X_i}{4})^2$，$\displaystyle \frac{X_i}{4}\sim N(0,\frac{1}{4})$，不是标准正态，故不服从$\chi^2(n)$。 步骤4：C：$\displaystyle \sqrt{\frac{(n-1)X_n^2}{\sum_{i=1}^{n-1}X_i^2}}=\frac{|X_n|}{\sqrt{\frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^{n-1}X_i^2}}$，分子为半正态，分母为样本标准差，不是$t$分布。 步骤5：D：$\displaystyle \frac{(n-1)X_1^2}{\sum_{i=2}^n X_i^2}=\frac{X_1^2/4}{\frac{1}{n-1}\sum_{i=2}^n X_i^2/4}\sim F(1,n-1)$。 **难度**：★★★☆☆