kaoyan1basic 概率论与数理统计 第6题
📝 题目
### 【强化篇】第6题（选择题） 6．已知随机变量 $X, Y$ ，且 $(X, Y)$ 的概率密度为 $\displaystyle f(x, y)=\frac{1}{4 \pi} e^{-\frac{x^{2}}{2}-\frac{(y-1)^{2}}{8}}$ ，则 $\displaystyle \frac{4 X^{2}}{(Y-1)^{2}}$ 服从（ ）． （A）$\chi^{2}(2)$ （B）$t(1)$ （C）$N\left(0,2^{2}\right)$ （D）$F(1,1)$
💡 答案解析
**答案**：D **解析**： 步骤1：由$\displaystyle f(x,y)=\frac{1}{4\pi}e^{-\frac{x^2}{2}-\frac{(y-1)^2}{8}}$，知$X\sim N(0,1)$，$Y\sim N(1,4)$，且$X$与$Y$独立。 步骤2：$\displaystyle \frac{4X^2}{(Y-1)^2}=\frac{X^2/1}{(Y-1)^2/4}$，$X^2\sim\chi^2(1)$，$\displaystyle (\frac{Y-1}{2})^2\sim\chi^2(1)$，故比值服从$F(1,1)$。 **难度**：★★☆☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/2
目标：识别随机变量的分布
由概率密度函数 f(x,y) = (1/(4π)) e^{-x^2/2 - (y-1)^2/8}，可看出 X 与 Y 独立，且 X ~ N(0,1)，Y ~ N(1,4)。
公式：f(x,y) = f_X(x) f_Y(y)，其中 f_X(x) = (1/√(2π)) e^{-x^2/2}，f_Y(y) = (1/√(8π)) e^{-(y-1)^2/8}
提示：注意指数部分分离为 x 和 y 的函数，且系数乘积为 1/(4π)，可验证独立性。
步骤 2/2
目标：标准化变量并构造 F 统计量
计算 4X^2/(Y-1)^2 = (X^2/1) / ((Y-1)^2/4)。由于 X ~ N(0,1)，故 X^2 ~ χ^2(1)；又 (Y-1)/2 ~ N(0,1)，所以 ((Y-1)/2)^2 ~ χ^2(1)。因此该比值服从 F(1,1)。
公式：F = (U/m) / (V/n)，其中 U ~ χ^2(m)，V ~ χ^2(n) 独立。这里 m=n=1。
提示：注意分子分母的自由度均为1。
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