kaoyan1basic 概率论与数理统计 第2题
📝 题目
### 【强化篇】第2题（填空题） 2．设 $X \sim N(0,1)$ ，在 $X=x$ 的条件下，总体 $Y \sim N(x, 1)$ ，记 $Y_{1}, Y_{2}, \cdots, Y_{n}, \cdots$ 为取自总体 $Y$ 的简单随机样本，则 $\displaystyle \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} Y_{i}^{2}$ 依概率收敛于 $\_\_\_\_$ ．
💡 答案解析
**答案**：$2$ **解析**： 步骤1：$X\sim N(0,1)$，$Y|X=x\sim N(x,1)$，则$Y$的边缘分布$Y\sim N(0,2)$（因为$E(Y)=E(E(Y|X))=E(X)=0$，$D(Y)=E(D(Y|X))+D(E(Y|X))=1+1=2$）。 步骤2：$Y_i$独立同分布，$E(Y_i^2)=D(Y_i)+[E(Y_i)]^2=2+0=2$。 步骤3：由大数定律，$\displaystyle \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n Y_i^2$依概率收敛于$E(Y_1^2)=2$。 **难度**：★★☆☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/3
目标：确定Y的边缘分布
已知X~N(0,1)，Y|X=x~N(x,1)，则Y的边缘分布为Y~N(0,2)。因为E(Y)=E(E(Y|X))=E(X)=0，D(Y)=E(D(Y|X))+D(E(Y|X))=1+1=2。
公式：E(Y)=E(E(Y|X)), D(Y)=E(D(Y|X))+D(E(Y|X))
提示：利用条件期望和条件方差公式求边缘分布
步骤 2/3
目标：计算E(Y_i^2)
由于Y_i独立同分布，且Y_i~N(0,2)，所以E(Y_i^2)=D(Y_i)+[E(Y_i)]^2=2+0=2。
公式：E(Y^2)=D(Y)+[E(Y)]^2
提示：利用方差和期望的关系
步骤 3/3
目标：应用大数定律
由大数定律，样本均值依概率收敛于期望，即(1/n)∑Y_i^2依概率收敛于E(Y_1^2)=2。
公式：大数定律：样本均值依概率收敛于期望
提示：注意大数定律的条件：独立同分布且期望存在
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