kaoyan1basic 概率论与数理统计 第1题
📝 题目
### 【强化篇】第1题（选择题） 1．设 $X_{1}, X_{2}, \cdots, X_{n}$ 是来自总体 $\displaystyle X \sim\left(\begin{array}{cccc}0 & 1 & 2 & 3 \\ \frac{1}{16} & \frac{3}{8} & \frac{1}{16} & \frac{1}{2}\end{array}\right)$ 的简单随机样本，若取值为 2 的样本个数 $K$ 满足 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} P\left\{\frac{K-a}{b} \leqslant x\right\}=\Phi(x)$ ，其中 $\Phi(x)$ 为标准正态分布函数，则 $a, b$ 分别是（ ） （A）$\displaystyle \frac{1}{16}, \frac{\sqrt{15}}{16}$ （B）$\displaystyle \frac{n}{16}, \frac{\sqrt{15 n}}{16}$ （C）$\displaystyle \frac{1}{16}, \frac{\sqrt{15 n}}{16}$ （D）$\displaystyle \frac{n}{16}, \frac{\sqrt{15}}{16}$
💡 答案解析
**答案**：B **解析**： 步骤1：$X$的分布律：$\displaystyle P(X=2)=\frac{1}{16}$，$K$为样本中取值为2的个数，$\displaystyle K\sim B(n,\frac{1}{16})$。 步骤2：由中心极限定理，$\displaystyle \frac{K-np}{\sqrt{np(1-p)}}\xrightarrow{d}N(0,1)$，其中$\displaystyle p=\frac{1}{16}$，$\displaystyle np=\frac{n}{16}$，$\displaystyle \sqrt{np(1-p)}=\frac{\sqrt{15n}}{16}$。 步骤3：对比$\displaystyle \lim_{n\to\infty}P\{\frac{K-a}{b}\leq x\}=\Phi(x)$，得$\displaystyle a=\frac{n}{16}$，$\displaystyle b=\frac{\sqrt{15n}}{16}$。 **难度**：★★☆☆☆