kaoyan1basic 概率论与数理统计 第4题
📝 题目
### 【强化篇】第4题（填空题） 4．设总体 $X$ 服从参数为 $\lambda$（ $\lambda>0$ 未知）的泊松分布，$X_{1}, X_{2}, \cdots, X_{n}$ 是来自总体 $X$ 的一个简单随机样本，则 $P\{X=0\}$ 的最大似然估计量为 $\_\_\_\_$ ．
💡 答案解析
**答案**：$e^{-\bar{X}}$ **解析**：步骤1：泊松分布$\displaystyle P\{X=k\}=\frac{\lambda^k}{k!}e^{-\lambda}$，参数$\lambda$的最大似然估计为$\hat{\lambda}=\bar{X}$。 步骤2：$P\{X=0\}=e^{-\lambda}$，由最大似然估计的不变性，其最大似然估计量为$e^{-\hat{\lambda}}=e^{-\bar{X}}$。 **难度**：★★☆☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/3
目标：写出泊松分布的概率分布函数
泊松分布的概率分布为 P{X=k} = λ^k e^{-λ} / k!，其中 k=0,1,2,...
公式：P{X=k} = λ^k e^{-λ} / k!
提示：注意参数λ>0
步骤 2/3
目标：求参数λ的最大似然估计
对于样本 X1,...,Xn，似然函数 L(λ)=∏_{i=1}^n (λ^{X_i} e^{-λ} / X_i!) = λ^{∑X_i} e^{-nλ} / ∏ X_i!。取对数得 ln L = (∑X_i) ln λ - nλ - ∑ ln(X_i!)，对λ求导并令导数为0：d ln L/dλ = (∑X_i)/λ - n = 0，解得 λ̂ = (1/n)∑X_i = X̄。
公式：λ̂ = X̄
提示：最大似然估计通过求解似然方程得到
步骤 3/3
目标：利用最大似然估计的不变性求P{X=0}的估计
由于 P{X=0} = e^{-λ}，且最大似然估计具有不变性，故 P{X=0} 的最大似然估计为 e^{-λ̂} = e^{-X̄}。
公式：P̂{X=0} = e^{-X̄}
提示：不变性：若θ̂是θ的MLE，则g(θ̂)是g(θ)的MLE
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