kaoyan1basic 概率论与数理统计 第5题
📝 题目
### 【强化篇】第5题（解答题） 5．设总体 $X$ 的概率密度为
$$ f(x ; \theta)= \begin{cases}1, & \theta-\frac{1}{2} \leqslant x \leqslant \theta+\frac{1}{2}, \\ 0, & \text { 其他, }\end{cases} $$
其中 $-\infty<\theta<+\infty . X_{1}, X_{2}, \cdots, X_{n}$ 为取自总体 $X$ 的简单随机样本，并记
$$ X_{(1)}=\min \left\{X_{1}, X_{2}, \cdots, X_{n}\right\}, X_{(n)}=\max \left\{X_{1}, X_{2}, \cdots, X_{n}\right\} . $$
求参数 $\theta$ 的最大似然估计量 $\hat{\theta}_{L}$ ．
💡 答案解析
**答案**：$\displaystyle \hat{\theta}_L = \frac{X_{(1)}+X_{(n)}}{2}$ **解析**：步骤1：总体$\displaystyle X \sim U(\theta-\frac{1}{2}, \theta+\frac{1}{2})$，似然函数$L(\theta)=\prod_{i=1}^n f(x_i;\theta)=1$，当且仅当所有$\displaystyle x_i \in [\theta-\frac{1}{2}, \theta+\frac{1}{2}]$，即$\displaystyle \theta-\frac{1}{2} \le X_{(1)}$且$\displaystyle X_{(n)} \le \theta+\frac{1}{2}$，等价于$\displaystyle X_{(n)}-\frac{1}{2} \le \theta \le X_{(1)}+\frac{1}{2}$。 步骤2：为使似然函数非零，$\theta$需满足上述区间。由于似然函数为常数，任何满足条件的$\theta$都是最大似然估计值。通常取区间中点作为估计量，即$\displaystyle \hat{\theta}_L = \frac{X_{(1)}+X_{(n)}}{2}$。 **难度**：★★☆☆☆