kaoyan1basic 概率论与数理统计 第6题
📝 题目
### 【强化篇】第6题（解答题） 6．设某手机每天销售量 $X$（单位：万台）的概率分布为
$$ X \sim\left(\begin{array}{ccc} 10 & 15 & 20 \\ \theta^{2} & \theta(1-\theta) & 1-\theta $\end{array}\right),$ $$
其中 $0<\theta<1$ 为未知参数，且每天的退货率为 $5 \%$ ，现有一周的销售量： $15,10,10,15,20,20,15$ ． （1）求 $\theta$ 的最大似然估计值 $\hat{\theta}$ ； （2）记 $Y$ 为每天的退货量，根据（1）中的 $\hat{\theta}$ ，求 $E(Y)$ ．
💡 答案解析
**答案**：（1）$\displaystyle \hat{\theta}=\frac{1}{2}$；（2）$E(Y)=0.75$ **解析**：步骤1：样本观测值中，10出现2次，15出现3次，20出现2次。似然函数$L(\theta)=(\theta^2)^2 \cdot [\theta(1-\theta)]^3 \cdot (1-\theta)^2 = \theta^{4+3} (1-\theta)^{3+2} = \theta^7 (1-\theta)^5$。取对数$\ln L = 7\ln\theta + 5\ln(1-\theta)$，求导$\displaystyle \frac{d\ln L}{d\theta} = \frac{7}{\theta} - \frac{5}{1-\theta}=0$，解得$\displaystyle \hat{\theta}=\frac{7}{12}$。 步骤2：退货率$5\%$，$Y$为退货量，$E(Y)=E(X) \times 5\%$。$E(X)=10 \cdot \theta^2 + 15 \cdot \theta(1-\theta) + 20 \cdot (1-\theta) = 10\theta^2 + 15\theta -15\theta^2 + 20 -20\theta = -5\theta^2 -5\theta +20$。代入$\displaystyle \hat{\theta}=\frac{7}{12}$，$\displaystyle E(X)=-5 \times (\frac{7}{12})^2 -5 \times \frac{7}{12} +20 = -\frac{245}{144} - \frac{35}{12} +20 = -\frac{245}{144} - \frac{420}{144} + \frac{2880}{144} = \frac{2215}{144}$。$\displaystyle E(Y)=E(X) \times 0.05 = \frac{2215}{144} \times \frac{1}{20} = \frac{2215}{2880} = \frac{443}{576}$。 **难度**：★★★☆☆