kaoyan1basic 概率论与数理统计 第7题
📝 题目
### 【强化篇】第7题（解答题） 7．设总体 $X$ 服从 $\displaystyle \left(0, \frac{1}{\theta}\right]$ 上的均匀分布，$\theta>0$ 为末知参数，$X_{1}, X_{2}, \cdots, X_{n}$ 为来自总体 $X$ 的简单随机样本．求： （1）$\theta$ 的最大似然估计量 $\hat{\theta}$ ； （2）$\hat{\theta}$ 的分布函数； （3）$P\{\theta<\theta \leqslant 0+1)$ ，
💡 答案解析
**答案**：（1）$\displaystyle \hat{\theta} = \frac{1}{X_{(n)}}$；（2）$\displaystyle F_{\hat{\theta}}(x) = \begin{cases} 0, & x < \frac{1}{\theta} \\ 1 - (\frac{1}{\theta x})^n, & x \ge \frac{1}{\theta} \end{cases}$；（3）$\displaystyle P\{\theta < \hat{\theta} \le \theta+1\} = 1 - (\frac{\theta}{\theta+1})^n$ **解析**：步骤1：总体$\displaystyle X \sim U(0, \frac{1}{\theta}]$，密度$\displaystyle f(x)=\theta, 0
📋 详细解题步骤
步骤 1/3
目标：求θ的最大似然估计量
总体X服从(0,1/θ]上的均匀分布，概率密度函数为f(x)=θ, 0
公式：L(θ)=θ^n, 0
提示：注意均匀分布似然函数中θ的范围由样本最大值决定。
步骤 2/3
目标：求θ̂的分布函数
先求X(n)的分布函数：总体分布函数F(x)=θx, 0θ，P(X(n)≥1/x)=1，但实际X(n)≤1/θ，故F_{θ̂}(x)=0；当x≥1/θ时，F_{θ̂}(x)=1-(θ/x)^n。
公式：F_{θ̂}(x)=0, x<1/θ; F_{θ̂}(x)=1-(θ/x)^n, x≥1/θ
提示：注意分布函数的分段点由X(n)的取值范围决定。
步骤 3/3
目标：求概率P{θ<θ̂≤θ+1}
利用分布函数计算：P(θ<θ̂≤θ+1)=F_{θ̂}(θ+1)-F_{θ̂}(θ)。由于θ≥1/θ（因为θ>0，且1/θ≤θ当θ≥1，但此处需注意θ可能小于1？实际上θ>0，而θ̂≥1/X(n)≥θ，故θ≥1/θ不一定成立。但由分布函数，当x=θ时，若θ≥1/θ，则F_{θ̂}(θ)=1-(θ/θ)^n=0；若θ<1/θ，则F_{θ̂}(θ)=0。总之F_{θ̂}(θ)=0。而θ+1≥1/θ恒成立（因为θ+1>1/θ对θ>0成立），故F_{θ̂}(θ+1)=1-(θ/(θ+1))^n。因此概率为1-(θ/(θ+1))^n。
公式：P(θ<θ̂≤θ+1)=1-(θ/(θ+1))^n
提示：注意θ̂≥θ，故F_{θ̂}(θ)=0。
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