kaoyan1basic 概率论与数理统计 第8题

教材习题

📝 题目

### 【强化篇】第8题（解答题） 8．议 $X_{1}, X_{2}$ 为来自总休 $X \sim U[0,2 \theta]$ 的简单随机样本，$Y_{1}, Y_{2}, Y_{3}$ 为来自总体 $Y \sim U[0,4 \theta]$ 的简单随机样本，且两样本相互独立，其中 $\theta(\theta>0)$ 是未吅参数。利用样本 $X_{1}, X_{2}, Y_{1}, Y_{2}, Y_{3}$ ，求 $\theta$ 的最大似然估计量 $\dot{\theta}$ 、并求 $D(\hat{\theta})$ 。

💡 答案解析

**答案**：$\displaystyle \hat{\theta} = \frac{1}{5} \max\{X_{(2)}, \frac{2}{3}Y_{(3)}\}$；$\displaystyle D(\hat{\theta}) = \frac{1}{25} [\frac{4\theta^2}{(2+1)^2(2+2)} + \frac{16\theta^2}{(3+1)^2(3+2)}] = \frac{1}{25} (\frac{4\theta^2}{12} + \frac{16\theta^2}{20}) = \frac{1}{25} (\frac{\theta^2}{3} + \frac{4\theta^2}{5}) = \frac{1}{25} \cdot \frac{17\theta^2}{15} = \frac{17\theta^2}{375}$ **解析**：步骤1：$X \sim U[0,2\theta]$，样本$X_1,X_2$，似然函数$\displaystyle L_X(\theta)=\frac{1}{(2\theta)^2}$，当$0

📋 详细解题步骤

步骤 1/3
目标：写出似然函数并确定θ的取值范围
对于总体X~U[0,2θ]，样本X1,X2的似然函数为L_X(θ)=1/(2θ)^2，当0
公式：L(θ)=1/[(2θ)^2 (4θ)^3]，θ≥max{X_(2)/2, Y_(3)/4}
提示：注意均匀分布似然函数中参数θ必须大于等于样本最大值除以区间长度，且似然函数是θ的减函数，因此θ̂取最小值。
步骤 2/3
目标：求θ̂的分布
X_(2)的密度为f_{X_(2)}(x)=2x/(2θ)^2=x/(2θ^2)，0
公式：f_{θ̂}(t)=5t^4/θ^5，0
提示：利用顺序分布的密度公式，注意变量变换的雅可比行列式。
步骤 3/3
目标：计算D(θ̂)
E(θ̂)=∫_0^θ t·(5t^4/θ^5)dt=5/θ^5·θ^6/6=5θ/6。E(θ̂^2)=∫_0^θ t^2·(5t^4/θ^5)dt=5/θ^5·θ^7/7=5θ^2/7。D(θ̂)=E(θ̂^2)-[E(θ̂)]^2=5θ^2/7-25θ^2/36=(180θ^2-175θ^2)/252=5θ^2/252。
公式：D(θ̂)=5θ^2/252
提示：注意积分限为0到θ，计算时小心分数通分。

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