kaoyan1basic 概率论与数理统计 第9题

教材习题

📝 题目

### 【强化篇】第9题（解答题） 9．设总休 $X$ 的概率密原为

$$ f(x ; \alpha, \beta)= \begin{cases}\frac{\alpha \beta^{a}}{x^{a+1}}, & x \geqslant \beta, \\ 0, & x<\beta,\end{cases} $$

$a, \beta$ 均大于 $0, X_{1}, X_{2}, \cdots, X_{n}$ 为总体 $X$ 的简单随机样本． （1）求 $a, \beta$ 的最大似然估计皕 $\alpha, \beta$ ； （2）对任煎的 $\varepsilon>0$ ，是否存在常数 $a$ ，使得 $\lim _{n \rightarrow-\infty} P\{|\hat{\beta}-a| \geqslant \varepsilon\}=0$ ？ （3）求 $E\left(\ln X_{1}\right)$ 。

💡 答案解析

**答案**：（1）$\displaystyle \hat{\alpha} = \frac{n}{\sum_{i=1}^n \ln X_i - n\ln \hat{\beta}}$，$\hat{\beta} = X_{(1)}$；（2）存在，$a=\beta$；（3）$\displaystyle E(\ln X_1) = \ln \beta + \frac{1}{\alpha}$ **解析**：步骤1：似然函数$\displaystyle L(\alpha,\beta)=\prod_{i=1}^n \frac{\alpha\beta^\alpha}{x_i^{\alpha+1}} = \alpha^n \beta^{n\alpha} (\prod x_i)^{-(\alpha+1)}$，当$x_i \ge \beta$，即$\beta \le X_{(1)}$。为使$L$最大，$\beta$取最大值$\hat{\beta}=X_{(1)}$。取对数$\ln L = n\ln\alpha + n\alpha\ln\beta - (\alpha+1)\sum \ln x_i$，对$\alpha$求导$\displaystyle \frac{\partial \ln L}{\partial \alpha} = \frac{n}{\alpha} + n\ln\beta - \sum \ln x_i = 0$，解得$\displaystyle \hat{\alpha} = \frac{n}{\sum \ln x_i - n\ln \hat{\beta}}$。 步骤2：$\hat{\beta}=X_{(1)}$是$\beta$的相合估计，即$\lim_{n\to\infty} P\{|\hat{\beta}-\beta| \ge \varepsilon\}=0$，故存在$a=\beta$。 步骤3：$\displaystyle E(\ln X_1)=\int_\beta^{+\infty} \ln x \cdot \frac{\alpha\beta^\alpha}{x^{\alpha+1}} dx$，令$t=\ln x - \ln\beta$，则$x=\beta e^t$，$dx=\beta e^t dt$，$\displaystyle E(\ln X_1)=\int_0^{+\infty} (\ln\beta + t) \cdot \alpha e^{-\alpha t} dt = \ln\beta + \alpha \int_0^{+\infty} t e^{-\alpha t} dt = \ln\beta + \frac{1}{\alpha}$。 **难度**：★★★★☆

📋 详细解题步骤

步骤 1/4
目标：写出似然函数并确定β的MLE
总体X的概率密度为f(x;α,β)=αβ^α/x^(α+1), x≥β。样本x1,...,xn独立同分布，似然函数L(α,β)=∏f(xi;α,β)=α^n β^(nα) (∏xi)^(-α-1)，其中xi≥β。为使L最大，β应尽可能大，但受限于β≤min{xi}=X(1)，故β的MLE为β̂=X(1)。
公式：L(α,β)=α^n β^(nα) (∏xi)^(-α-1), β̂=X(1)
提示：注意β的取值范围是(0, X(1)]，似然函数关于β单调递增。
步骤 2/4
目标：求α的MLE
取对数似然函数：lnL=n lnα + nα lnβ - (α+1)∑ln xi。将β̂代入，对α求偏导并令为0：∂lnL/∂α = n/α + n lnβ̂ - ∑ln xi = 0，解得α̂ = n / (∑ln xi - n lnβ̂)。
公式：α̂ = n / (∑ln xi - n lnβ̂)
提示：求导时注意lnL是α的凹函数，解出的驻点即为最大值点。
步骤 3/4
目标：判断β̂的相合性
β̂=X(1)是β的相合估计，即对任意ε>0，有lim_{n→∞} P(|β̂-β|≥ε)=0。因为X(1)依概率收敛到β，所以存在常数a=β满足条件。
公式：P(|X(1)-β|≥ε)→0
提示：相合性可由顺序统计量的性质得到：X(1)的分布函数为F_(1)(x)=1-[1-F(x)]^n，当n→∞时趋于退化分布。
步骤 4/4
目标：计算E(ln X1)
E(ln X1)=∫_β^∞ ln x * (αβ^α/x^(α+1)) dx。令t=ln x - ln β，则x=β e^t，dx=β e^t dt，积分限t从0到∞。代入得E=∫_0^∞ (ln β + t) α e^{-α t} dt = ln β + α ∫_0^∞ t e^{-α t} dt = ln β + 1/α。
公式：E(ln X1)=ln β + 1/α
提示：利用指数分布积分：∫_0^∞ t e^{-α t} dt = 1/α^2。

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