kaoyan1basic 概率论与数理统计 第10题
📝 题目
### 【强化篇】第10题（选择题） 10．设总体 $X$ 服从区间 $[-\theta, \theta]$ 上的均匀分布，$X_{1}, X_{2}, \cdots, X_{n}$ 为来自总体 $X$ 的简单随机样本，聊参数 $\theta(\theta>0)$ 的最大似然估计量 $\hat{\theta}=()$ 。 （A） $\max _{1<1
💡 答案解析
**答案**：C **解析**：步骤1：总体$X \sim U[-\theta,\theta]$，密度$\displaystyle f(x)=\frac{1}{2\theta}, -\theta \le x \le \theta$。似然函数$\displaystyle L(\theta)=\frac{1}{(2\theta)^n}$，当$-\theta \le X_{(1)}$且$X_{(n)} \le \theta$，即$\theta \ge \max\{-X_{(1)}, X_{(n)}\} = \max_{1\le i\le n} |X_i|$。为使$L(\theta)$最大，$\theta$取最小值，故$\hat{\theta} = \max_{1\le i\le n} |X_i|$。 **难度**：★★☆☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/3
目标：写出总体分布的概率密度函数
总体X服从区间[-θ, θ]上的均匀分布，因此概率密度函数为f(x)=1/(2θ)，其中-θ≤x≤θ。
公式：f(x)=1/(2θ), -θ≤x≤θ
提示：注意均匀分布的密度函数在区间内是常数。
步骤 2/3
目标：构造似然函数
对于样本X1,X2,...,Xn，似然函数L(θ)=∏_{i=1}^n f(Xi)=1/(2θ)^n，但需满足所有样本点都在区间内，即-θ≤Xi≤θ对所有i成立。这等价于θ≥max{-X(1), X(n)} = max|Xi|。
公式：L(θ)=1/(2θ)^n, θ≥max|Xi|
提示：似然函数只在θ满足约束时非零。
步骤 3/3
目标：求使似然函数最大的θ
L(θ)是θ的单调递减函数，因此为使L(θ)最大，θ应取满足约束的最小值，即θ̂ = max|Xi|。
公式：θ̂ = max_{1≤i≤n}|Xi|
提示：由于L(θ)递减，θ越小似然越大，但受限于θ≥max|Xi|，故取最小值。
📷 拍照上传批改
拍照上传批改功能已预留入口，后续接入图片上传、OCR识别与AI批改。